《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册北师大版》

例1 甲、乙两人玩一个游戏,判定这个游戏公平不公平的标准是 (D)
A. 游戏的规则由甲方确定
B. 游戏的规则由乙方确定
C. 游戏的规则由甲、乙双方商定
D. 游戏双方赢的概率相同

答案： D

例2 [2023秋·沈阳苏家屯区期中]一个不透明的口袋中有三个小球,一个标有字母A,另外两个都标有字母B,除所标字母不同外,其他完全相同.小明和小刚玩摸球游戏,小明从中随机摸出一个小球,记下字母后放回并搅匀,小刚再随机摸出一个小球,两次摸出的小球所标字母相同则小明赢,所标字母不同则小刚赢.
(1)用画树状图或列表的方法,求小明赢的概率;
(2)请问这个游戏规则公平吗?试说明理由.

答案： $(1)$ 求小明赢的概率
- **列表法分析所有可能结果：
设标有字母$A$的球为$A$，标有字母$B$的两个球分别为$B_1$，$B_2$。
列表如下：
| 小明$\diagdown$小刚 | $A$ | $B_1$ | $B_2$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| $A$ | $(A,A)$ | $(A,B_1)$ | $(A,B_2)$ |
| $B_1$ | $(B_1,A)$ | $(B_1,B_1)$ | $(B_1,B_2)$ |
| $B_2$ | $(B_2,A)$ | $(B_2,B_1)$ | $(B_2,B_2)$ |
由表可知，一共有$3×3 = 9$种等可能的结果。
- **计算小明赢的结果数：
两次摸出的小球所标字母相同的结果有$(A,A)$，$(B_1,B_1)$，$(B_1,B_2)$，$(B_2,B_1)$，$(B_2,B_2)$，共$5$种。
- **根据概率公式计算小明赢的概率：
根据概率公式$P(A)=\frac{m}{n}$（其中$n$是所有可能的结果数，$m$是事件$A$发生的结果数），可得小明赢的概率$P_{小明}=\frac{5}{9}$。
$(2)$ 判断游戏规则是否公平
- **计算小刚赢的概率：
因为两次摸出的小球所标字母不同的结果有$9 - 5=4$种，所以小刚赢的概率$P_{小刚}=\frac{4}{9}$。
- **比较两人赢的概率：
由于$\frac{5}{9}\neq\frac{4}{9}$，即$P_{小明}\neq P_{小刚}$。
所以这个游戏规则不公平。
综上，答案为：$(1)$$\boldsymbol{\frac{5}{9}}$；$(2)$不公平，理由：小明赢的概率$\boldsymbol{\frac{5}{9}}$，小刚赢的概率$\boldsymbol{\frac{4}{9}}$，$\boldsymbol{\frac{5}{9}\neq\frac{4}{9}}$，所以游戏规则不公平。

1. A,B,C三名同学玩“抢凳子”游戏,他们所站的位置可围成一个△ABC,在他们中间放一个木凳,谁先抢到凳子谁获胜.为保证游戏公平,则凳子应放的位置最适当的是在 (A)
A. △ABC的三边垂直平分线的交点
B. △ABC的三边中线的交点
C. △ABC的三个内角角平分线的交点
D. △ABC的三边高的交点

答案： A

2. [2023秋·铁西区期中]甲、乙两人玩游戏,把一个均匀的小正方体的每个面上分别标上数字1,2,3,4,5,6,任意掷出小正方体后,若朝上的数字比3大,则甲胜;若朝上的数字比3小,则乙胜.你认为这个游戏对乙公平吗?不公平(填“公平”或“不公平”).

答案： 不公平

3. 某中学准备举行实地研学活动,每个班需选出一名旗手.某班决定从小王和小林中选出一名旗手.方法如下:从一个不透明的袋子中摸质地均匀、大小一样的小球,小球上分别标有数字1,2,3,4,每人各摸一次后放回,若小王摸得的数字比小李摸得的数字小,小王当选;否则,小李当选.试用列表或画树状图法分析这个规则对双方是否公平.

答案： 解：列表如下：
| | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | $(1,1)$ | $(1,2)$ | $(1,3)$ | $(1,4)$ |
| 2 | $(2,1)$ | $(2,2)$ | $(2,3)$ | $(2,4)$ |
| 3 | $(3,1)$ | $(3,2)$ | $(3,3)$ | $(3,4)$ |
| 4 | $(4,1)$ | $(4,2)$ | $(4,3)$ | $(4,4)$ |
共有$4×4 = 16$种等可能的结果。
其中小王摸得的数字比小林摸得的数字小的有$(1,2)$，$(1,3)$，$(1,4)$，$(2,3)$，$(2,4)$，$(3,4)$，共$6$种结果。
所以$P$（小王当选）$=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$。
$P$（小林当选）$=1 - \frac{3}{8}=\frac{5}{8}$。
因为$\frac{3}{8}\neq\frac{5}{8}$，所以这个规则对双方不公平。