《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册北师大版》

3. [2023·新疆生产建设兵团]如图，$AD$和$BC$相交于点$O$，$\angle ABO=\angle DCO = 90^{\circ}$，$OB = OC$，$E$，$F$分别是$AO$，$DO$的中点.
(1)求证：$OE = OF$；
在$\triangle ABO$和$\triangle DCO$中，$\because\angle ABO=\angle DCO = 90^{\circ}$，$\angle AOB=\angle DOC$（对顶角相等），$OB = OC$，$\therefore\triangle ABO\cong\triangle DCO(AAS)$，$\therefore AO = DO$。$\because E$，$F$分别是$AO$，$DO$的中点，$\therefore OE=\dfrac{1}{2}AO$，$OF=\dfrac{1}{2}DO$，$\therefore OE = OF$。
(2)当$\angle A = 30^{\circ}$时，求证：四边形$BECF$是矩形.
连接$BE$，$CF$。$\because OB = OC$，$OE = OF$，$\therefore$四边形$BECF$是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。在$Rt\triangle ABO$中，$\angle ABO = 90^{\circ}$，$E$是$AO$的中点，$\therefore BE=\dfrac{1}{2}AO = AE$（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），$\therefore\angle ABE=\angle A = 30^{\circ}$，$\therefore\angle BEO=\angle A+\angle ABE = 60^{\circ}$。$\because BE = AE=\dfrac{1}{2}AO$，$OE=\dfrac{1}{2}AO$，$\therefore BE = OE$，$\therefore\triangle BEO$是等边三角形，$\therefore BE = BO$。同理可得$CF = CO$，又$\because BO = CO$，$\therefore BE = CF$，$\therefore$平行四边形$BECF$是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。

答案： 【解析】：
(1)
在$\triangle ABO$和$\triangle DCO$中，
$\because\angle ABO=\angle DCO = 90^{\circ}$，$\angle AOB=\angle DOC$（对顶角相等），$OB = OC$，
$\therefore\triangle ABO\cong\triangle DCO(AAS)$，
$\therefore AO = DO$。
$\because E$，$F$分别是$AO$，$DO$的中点，
$\therefore OE=\dfrac{1}{2}AO$，$OF=\dfrac{1}{2}DO$，
$\therefore OE = OF$。
(2)
连接$BE$，$CF$。
$\because OB = OC$，$OE = OF$，
$\therefore$四边形$BECF$是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
在$Rt\triangle ABO$中，$\angle ABO = 90^{\circ}$，$E$是$AO$的中点，
$\therefore BE=\dfrac{1}{2}AO = AE$（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
$\therefore\angle ABE=\angle A = 30^{\circ}$，
$\therefore\angle BEO=\angle A+\angle ABE = 60^{\circ}$。
$\because BE = AE=\dfrac{1}{2}AO$，$OE=\dfrac{1}{2}AO$，
$\therefore BE = OE$，
$\therefore\triangle BEO$是等边三角形，
$\therefore BE = BO$。
同理可得$CF = CO$，
又$\because BO = CO$，
$\therefore BE = CF$，
$\therefore$平行四边形$BECF$是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。
【答案】：
(1) 证明见上述解析，证得$OE = OF$。
(2) 证明见上述解析，证得四边形$BECF$是矩形。

4. (推理能力、动态几何)如图，在$\triangle ABC$中，$O$是边$AC$上的一个动点，过点$O$作直线$MN// BC$，设$MN$交$\angle ACB$的平分线于点$E$，交$\triangle ABC$的外角$\angle ACD$的平分线于点$F$.
(1)求证：$OE = OF$.
(2)若$CE = 12$，$CF = 5$，求$OC$的长.6.5
(3)当点$O$在边$AC$上运动到什么位置时，四边形$AECF$是矩形？请说明理由.当点 $ O $ 运动到 $ AC $ 的中点时，四边形 $ AECF $ 是矩形.

答案： 1. （1）
证明：
因为$CE$平分$\angle ACB$，所以$\angle ACE=\angle BCE$。
又因为$MN// BC$，根据两直线平行，内错角相等，所以$\angle OEC = \angle BCE$。
则$\angle ACE=\angle OEC$，根据等角对等边，可得$OE = OC$。
因为$CF$平分$\angle ACD$，所以$\angle ACF=\angle DCF$。
又因为$MN// BC$，根据两直线平行，内错角相等，所以$\angle OFC=\angle DCF$。
则$\angle ACF=\angle OFC$，根据等角对等边，可得$OF = OC$。
所以$OE = OF$。
2. （2）
解：
因为$CE$平分$\angle ACB$，$CF$平分$\angle ACD$，所以$\angle ECF=\angle ACE+\angle ACF=\frac{1}{2}(\angle ACB+\angle ACD)$。
因为$\angle ACB+\angle ACD = 180^{\circ}$（邻补角定义），所以$\angle ECF = 90^{\circ}$。
在$Rt\triangle ECF$中，根据勾股定理$EF=\sqrt{CE^{2}+CF^{2}}$，已知$CE = 12$，$CF = 5$，则$EF=\sqrt{12^{2}+5^{2}}=\sqrt{144 + 25}=\sqrt{169}=13$。
由（1）知$OE = OF = OC$，所以$OC=\frac{1}{2}EF$（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）。
所以$OC=\frac{13}{2}$。
3. （3）
解：
当点$O$运动到$AC$的中点时，四边形$AECF$是矩形。
理由：
当$O$为$AC$中点时，$OA = OC$，又由（1）知$OE = OF$。
根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以四边形$AECF$是平行四边形。
又因为$\angle ECF = 90^{\circ}$（已证）。
根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形$AECF$是矩形。
综上，（1）证明见上述过程；（2）$OC=\frac{13}{2}$；（3）当点$O$运动到$AC$中点时，四边形$AECF$是矩形，理由见上述过程。