《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册北师大版》

例1 据报道，某人工智能科技公司2023年的年利润为500万元，由于在技术研发和市场拓展方面的持续投入，该公司的年利润逐年增长，到2025年的年利润预计将达到720万元。设该公司这两年年利润的平均增长率为x，则可列方程为（A）
A. $500(1 + x)^2 = 720$
B. $500(1 + 2x)^2 = 720$
C. $500(1 + x) + 500(1 + x)^2 = 720$
D. $500 + 500(1 + x) + 500(1 + x)^2 = 720$

答案： A

例2 某种电脑病毒传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染。
(1)每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？
(2)若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？
(3)n轮(n为正整数)感染后，被感染的电脑有$(1+x)^{n}$台。

答案：
(1)每轮感染中平均每一台电脑会感染 8 台电脑.
(2)3 轮感染后,被感染的电脑会超过 700 台.
(3)$(1+x)^{n}$

例3 某美食店有A，B两种菜品，每份成本均为14元，售价分别为20元，18元时，这两种菜品每天的营业额共为1120元，总利润为280元。
(1)该店每天卖出这两种菜品共多少份？
(2)该店为了增加利润，准备降低A种菜品的售价，同时提高B种菜品的售价。售卖时发现，A种菜品售价每降低0.5元可多卖1份；B种菜品售价每提高0.5元就少卖1份。如果A种菜品每份售价降价的钱数和B种菜品每份涨价的钱数一样多，那么当A种菜品降价多少元时，两种菜品的利润总和为300元？

答案： $(1) $求每天卖出这两种菜品的总份数$ $　　
设该店每天卖出$A$种菜品$x$份，卖出$B$种菜品$y$份。$ $　　
$- **$根据营业额列方程：$ $　　
已知$A$菜品售价$20$元，$B$菜品售价$18$元，每天营业额共为$1120$元，根据$“$营业额$=$售价$×$销售量$”，$可得方程$20x + 18y = 1120。$$ $　　
$- **$根据利润列方程：$ $　　
已知$A、$$B$两种菜品每份成本均为$14$元，总利润为$280$元，根据$“$利润$=( )$售价$-$成本$)×$销售量$”，$可得方程$(20 - 14)x + (18 - 14)y = 280，$即$6x + 4y = 280。$将$6x + 4y = 280$两边同时除以$2$得$3x + 2y = 140，$再两边同时乘以$9$得$27x + 18y = 1260。$用$27x + 18y = 1260$减去$20x + 18y = 1120$可得：$ $　　
$27x + 18y -(20x + 18y)=1260 - 1120　$　　
$27x + 18y - 20x - 18y=140　$　　
$7x=140$　　
$x=20 $　　
把$x = 20$代入$3x + 2y = 140$得：$　$　　
3×20 + 2y&=140　　　
$60 + 2y=140　$　　
$2y=140 - 60　$　　
$2y=80　$　　
$y=40 $　　
则两种菜品总份数为$x + y = 20 + 40 = 60（$份$）。$###
(2) 求$A$种菜品降价的钱数设$A$种菜品降价$a$元。$- **$计算$A$菜品变化后的利润：$**A$种菜品售价每降低$0.5$元可多卖$1$份，那么降价$a$元多卖$\frac{a}{0.5}$份，$A$菜品原来卖$20$份，则现在卖$(20 + \frac{a}{0.5})$份，$A$菜品现在的售价为$(20 - a)$元，成本$14$元，所以$A$菜品的利润为$(20 - a - 14)(20 + \frac{a}{0.5})。$$- **$计算$B$菜品变化后的利润：$**B$种菜品售价每提高$0.5$元就少卖$1$份，$A$种菜品每份售价降价的钱数和$B$种菜品每份涨价的钱数一样多，即$B$菜品涨价$a$元，少卖$\frac{a}{0.5}$份，$B$菜品原来卖$40$份，则现在卖$(40 - \frac{a}{0.5})$份，$B$菜品现在的售价为$(18 + a)$元，成本$14$元，所以$B$菜品的利润为$(18 + a - 14)(40 - \frac{a}{0.5})。$根据两种菜品的利润总和为$300$元，可列方程：$　$　　
$(20 - a - 14)(20 + \frac{a}{0.5})+(18 + a - 14)(40 - \frac{a}{0.5})=300$　　
(6 - a)(20 + 2a)+(4 + a)(40 - 2a)&=300　　　
$120 + 12a - 20a - 2a^{2}+160 - 8a + 40a - 2a^{2}=300$　　
$- 4a^{2}+24a + 280=300$　　
$- 4a^{2}+24a - 20=0　$　　
$a^{2}-6a + 5=0$　　
$(a - 1)(a - 5)=0　$　　
解得$a_{1}=1，$$a_{2}=5。$综上，$(1)$该店每天卖出这两种菜品共$\boldsymbol{60}$份；$(2)$当$A$种菜品降价$\boldsymbol{1}$元或$\boldsymbol{5}$元时，两种菜品的利润总和为$300$元。$ $