《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册北师大版》

教材母题 (教材 P58 复习题第 19 题)
一次会议上,每两个参加会议的人都相互握了一次手,经统计所有人一共握了 66 次手.这次会议到会的人数是多少?

答案： 解：设这次会议到会的人数为$x$人。
根据握手问题公式：握手总次数$=\frac{n(n - 1)}{2}$（$n$为人数），则可得方程$\frac{x(x - 1)}{2}=66$。
方程两边同时乘以$2$得：$x(x - 1)=132$，
展开括号得：$x^{2}-x - 132=0$，
分解因式得：$(x - 12)(x + 11)=0$，
则$x - 12=0$或$x + 11=0$，
解得$x_{1}=12$，$x_{2}=-11$（人数不能为负数，舍去）。
所以这次会议到会的人数是$12$人。

1. 若直线 AB 上存在若干个点,使得线段总数为 15,则直线上有6个点.

答案： 6

2. 某航空公司有若干个运营基地,每两个运营基地之间都开辟一条航线,一共开辟了28 条航线,则这个航空公司共有运营基地8个.

答案： 8

3. [2024·沈阳南昌中学期中]有一个人患了流感,经过两轮传染后共有 81 人患了流感.
(1)每轮传染中平均一个人传染了几个人?
(2)如果按照这样的传染速度,经过三轮传染后共有多少个人会患流感?

答案： $(1)$ 求每轮传染中平均一个人传染的人数
设每轮传染中平均一个人传染了$x$个人。
- **第一轮传染后**：原本有$1$个患者，这个人传染给$x$个人，所以第一轮后共有$(1 + x)$人患流感。
- **第二轮传染后**：第一轮后$(1 + x)$个患者，每个人又传染给$x$个人，那么第二轮新增$x(1 + x)$个患者，所以经过两轮传染后共有$1 + x + x(1 + x)$人患流感。
根据经过两轮传染后共有$81$人患了流感，可列方程：
$\begin{aligned}1 + x + x(1 + x)&=81\\(1 + x)^2&=81\\1 + x&=\pm9\end{aligned}$
解得$x_1 = 8$，$x_2=-10$（传染的人数不能为负数，不合题意，舍去）。
所以每轮传染中平均一个人传染了$8$个人。
$(2)$ 求经过三轮传染后患流感的人数
- **经过两轮传染后**：有$81$人患流感。
- **第三轮传染**：因为每轮传染中平均一个人传染$8$个人，所以第三轮新增$81×8$个患者。
那么经过三轮传染后共有$81 + 81×8=81×(1 + 8)= 729$（人）患流感。
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{8}$个人；$(2)$$\boldsymbol{729}$个人。

教材母题 (教材 P55 习题 2.10 第 3 题)
我国 2019 年并网太阳能发电装机容量约为 2 亿 kW,经过两年努力,我国 2021 年并网太阳能发电装机容量约为 3 亿 kW,求我国这两年并网太阳能发电装机容量的年均增长率(结果精确到 1%).

答案： 解：设我国这两年并网太阳能发电装机容量的年均增长率为$x$。
根据公式$a(1 + x)^n = b$（其中$a$为初始值，$x$为增长率，$n$为增长次数，$b$为最终值），可得$2(1 + x)^2 = 3$。
$(1 + x)^2=\frac{3}{2}$
$1 + x = \pm\sqrt{\frac{3}{2}}$
$x = -1\pm\sqrt{\frac{3}{2}}$
因为增长率为正，所以$x=-1 + \sqrt{\frac{3}{2}}$。
$\sqrt{\frac{3}{2}}\approx1.225$，则$x\approx1.225 - 1 = 0.225$，$0.225×100\% = 22.5\%\approx23\%$。
答：我国这两年并网太阳能发电装机容量的年均增长率约为$23\%$。

4. 随着新能源技术的提高,节能、环保的新能源汽车越来越受消费者喜爱.某 4S 店新能源汽车销售量自 2024 年起逐月增加,据统计,该 4S 店 1 月份销售新能源汽车 50 辆,3 月份销售新能源汽车 72 辆.
(1)求该 4S 店这两个月新能源汽车销量的月平均增长率;
(2)若月平均增长率保持不变,则该 4S 店 4 月份卖出多少辆新能源汽车(结果只取整数部分,不四舍五入)?

答案： $(1)$求月平均增长率
解：设该$4S$店这两个月新能源汽车销量的月平均增长率为$x$。
根据$1$月份销售量$×(1 +$月平均增长率$)^{2}=3$月份销售量，可列方程：
$50(1 + x)^{2}=72$
$(1 + x)^{2}=\frac{72}{50}$
$(1 + x)^{2}=1.44$
$1 + x=\pm\sqrt{1.44}$
$1 + x=\pm1.2$
当$1 + x = 1.2$时，$x = 1.2 - 1=0.2 = 20\%$；
当$1 + x=-1.2$时，$x=-1.2 - 1=-2.2$（增长率不能为负，舍去）。
所以，该$4S$店这两个月新能源汽车销量的月平均增长率为$20\%$。
$(2)$求$4$月份的销售量
已知$3$月份销售新能源汽车$72$辆，月平均增长率为$20\%$。
根据$4$月份销售量$ = 3$月份销售量$×(1 +$月平均增长率$)$，可得：
$72×(1 + 20\%)=72×1.2 = 86.4$，只取整数部分为$86$辆。
所以，该$4S$店$4$月份卖出$86$辆新能源汽车。
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{20\%}$；$(2)$$\boldsymbol{86}$辆。