《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册北师大版》

4. [2022·玉林]若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是正方形，则四边形ABCD的两条对角线AC，BD一定是 (D)
A. 互相平分
B. 互相垂直
C. 互相平分且相等
D. 互相垂直且相等

答案： 4. D

5. [2022·邵阳]如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE=DF，OE=OA.求证：四边形AECF是正方形.

证明：因为四边形ABCD是菱形，所以OA=OC，OB=OD，AC⊥BD.
因为BE=DF，所以OB-BE=OD-DF，即OE=OF.
又OA=OC，所以四边形AECF是平行四边形.
因为AC⊥BD，所以平行四边形AECF是菱形.
因为OE=OA，所以AC=EF，所以菱形AECF是正方形.

答案： 【解析】：
- 因为四边形$ABCD$是菱形，根据菱形的性质可知$OA = OC$，$OB = OD$，$AC⊥BD$。
- 又因为$BE = DF$，所以$OB - BE = OD - DF$，即$OE = OF$。
- 由于$OA = OC$，$OE = OF$，根据平行四边形的判定定理（对角线互相平分的四边形是平行四边形），可得四边形$AECF$是平行四边形。
- 因为$AC⊥BD$，即$∠AOF = 90^{\circ}$，所以平行四边形$AECF$是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。
- 已知$OE = OA$，所以$AC = 2OA$，$EF = 2OE$，则$AC = EF$。
- 根据正方形的判定定理（对角线相等的菱形是正方形），可得菱形$AECF$是正方形。
【答案】：
因为四边形$ABCD$是菱形，所以$OA = OC$，$OB = OD$，$AC⊥BD$。
因为$BE = DF$，所以$OB - BE = OD - DF$，即$OE = OF$。
又$OA = OC$，所以四边形$AECF$是平行四边形。
因为$AC⊥BD$，所以平行四边形$AECF$是菱形。
因为$OE = OA$，所以$AC = EF$，所以菱形$AECF$是正方形。

6. (推理能力)如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG.
(1)求证：矩形DEFG是正方形；
(2)若AB=2√2，CE=2，求CG的长2；
(3)当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40°时，直接写出∠EFC的度数130°或40°.

答案： 1. （1）**证明矩形$DEFG$是正方形**：
解（证明）：过点$E$作$EM\perp BC$于点$M$，$EN\perp CD$于点$N$。
因为四边形$ABCD$是正方形，$AC$是对角线，所以$\angle ECN = 45^{\circ}$，$\angle EMC=\angle ENC=\angle NCM = 90^{\circ}$。
则四边形$EMCN$是正方形，所以$EM = EN$，$\angle MEN = 90^{\circ}$。
因为$\angle DEF = 90^{\circ}$，所以$\angle DEN+\angle NEF=\angle FEM+\angle NEF = 90^{\circ}$，即$\angle DEN=\angle FEM$。
又$\angle DNE=\angle FME = 90^{\circ}$，$EN = EM$，所以$\triangle DNE\cong\triangle FME(AAS)$。
所以$DE = EF$。
因为四边形$DEFG$是矩形，且$DE = EF$，所以矩形$DEFG$是正方形。
2. （2）**求$CG$的长**：
解：因为$AB = 2\sqrt{2}$，四边形$ABCD$是正方形，所以$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{2})^{2}+(2\sqrt{2})^{2}} = 4$（根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，这里$a = b=2\sqrt{2}$，$c = AC$）。
又$CE = 2$，所以$AE=AC - CE=4 - 2 = 2$。
因为四边形$DEFG$是正方形，所以$DE = DG$，$\angle EDG = 90^{\circ}$。
又$\angle ADC = 90^{\circ}$，所以$\angle ADE+\angle EDC=\angle CDG+\angle EDC = 90^{\circ}$，即$\angle ADE=\angle CDG$。
又$AD = CD$，所以$\triangle ADE\cong\triangle CDG(SAS)$。
所以$CG = AE$，因为$AE = 2$，所以$CG = 2$。
3. （3）**求$\angle EFC$的度数**：
当$\angle ADE = 40^{\circ}$时：
因为$\triangle DNE\cong\triangle FME$，$\angle DAE = 45^{\circ}$，$\angle ADE = 40^{\circ}$，则$\angle DEC=\angle DAE+\angle ADE=45^{\circ}+40^{\circ}=85^{\circ}$。
因为$\angle ECF = 45^{\circ}$，在$\triangle EFC$中，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，$\angle EFC=180^{\circ}-\angle ECF - \angle FEC$，$\angle FEC = 180^{\circ}-\angle DEF-\angle DEC=180 - 90 - 85 = 5^{\circ}$，所以$\angle EFC=180^{\circ}-45^{\circ}-5^{\circ}=130^{\circ}$。
当$\angle CDE = 40^{\circ}$时：
因为$\angle ECF = 45^{\circ}$，$\angle DEF = 90^{\circ}$，$\angle DEC = 180^{\circ}-\angle CDE-\angle DCE=180 - 40 - 45 = 95^{\circ}$，$\angle FEC=\angle DEF-\angle DEC=90 - 95=- 5^{\circ}$（这种情况舍去），或$\angle FEC=\angle DEC-\angle DEF=95 - 90 = 5^{\circ}$。
在$\triangle EFC$中，$\angle EFC = 180^{\circ}-\angle ECF-\angle FEC=180 - 45 - 5=130^{\circ}$（另一种情况：因为$\angle DEF = 90^{\circ}$，$\angle DCE = 45^{\circ}$，$\angle CDE = 40^{\circ}$，由$\triangle DNE\cong\triangle FME$，$\angle EFC=\angle EDC + 90^{\circ}=40 + 90=130^{\circ}$）；当$\angle DEB = 40^{\circ}$（$F$在$BC$延长线上），$\angle ECF = 135^{\circ}$，$\angle DEF = 90^{\circ}$，$\angle FEC=\angle DEB = 40^{\circ}$，根据三角形内角和$\angle EFC=180^{\circ}-\angle ECF-\angle FEC=180 - 135 - 40=- 5^{\circ}$（舍去），或$\angle EFC=\angle EDC + 90^{\circ}$（$\angle EDC = 40^{\circ}$），$\angle EFC = 40^{\circ}+90^{\circ}=130^{\circ}$；当$\angle DEB = 40^{\circ}$（$F$在$BC$上），$\angle ECF = 45^{\circ}$，$\angle DEF = 90^{\circ}$，$\angle FEC = 180^{\circ}-\angle DEB-\angle DEF=180 - 40 - 90 = 50^{\circ}$，$\angle EFC=180^{\circ}-\angle ECF-\angle FEC=180 - 45 - 50 = 85^{\circ}$（另一种思路：因为$\angle DEF = 90^{\circ}$，$\angle DCE = 45^{\circ}$，当$\angle CDE = 40^{\circ}$，$\angle EFC=\angle EDC + 45^{\circ}=40 + 45 = 85^{\circ}$）。
所以$\angle EFC$的度数为$130^{\circ}$或$40^{\circ}$。
综上，答案依次为：（1）证明见上述过程；（2）$2$；（3）$130^{\circ}$或$40^{\circ}$。