《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册北师大版》

矩形的判定定理
定理：(1)对角线相等的平行四边形是矩形.
(2)有三个角是直角的四边形是矩形.
拓展：有一个角是直角的平行四边形是矩形.

答案： 相等 直角 直角

例1 如图，将$□ ABCD$的边$AB$延长至点$E$，使$BE = AB$，连接$DE$，$EC$，$BD$，$DE$交$BC$于点$O$.
(1)求证：$\triangle ABD\cong \triangle BEC$；
证明：因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB = CD$，$AB// CD$，$AD = BC$，$\angle A=\angle EBC$。又$BE = AB$，所以$BE = CD$，$BE// CD$。在$\triangle ABD$和$\triangle BEC$中，$\begin{cases}AB = BE\\\angle A=\angle EBC\\AD = BC\end{cases}$，所以$\triangle ABD\cong \triangle BEC$SAS。
(2)若$\angle BOD = 2\angle A$，求证：四边形$BECD$是矩形.
证明：因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD// BC$，$\angle A+\angle ABC = 180^{\circ}$。因为$\angle BOD = 2\angle A$，$\angle BOD=\angle A+\angle ADO$，所以$\angle A=\angle ADO$，则$AB = BD$。因为$AB = BE$，所以$BD = BE$。由（1）知$BE = CD$，$BE// CD$，所以四边形$BECD$是平行四边形。又$BD = BE$，所以平行四边形$BECD$是矩形。

答案： 【解析】：
1. （1）首先，因为四边形$ABCD$是平行四边形，根据平行四边形的性质，可得$AB = CD$，$AB// CD$，$AD = BC$，$\angle A=\angle EBC$。又已知$BE = AB$，所以$BE = CD$，且$BE// CD$。在$\triangle ABD$和$\triangle BEC$中，$AB = BE$，$\angle A=\angle EBC$，$AD = BC$，根据全等三角形的判定定理$SAS$（边角边），可以证明$\triangle ABD\cong \triangle BEC$。
2. （2）因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD// BC$，那么$\angle A+\angle ABC = 180^{\circ}$。又因为$\angle BOD = 2\angle A$，且$\angle BOD=\angle A+\angle ADO$（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和），所以$\angle A=\angle ADO$，则$AB = BD$。因为$AB = BE$，所以$BD = BE$。由（1）知$BE = CD$，$BE// CD$，所以四边形$BECD$是平行四边形。又因为$BD = BE$，所以平行四边形$BECD$是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。
【答案】：
1. 证明：因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB = CD$，$AB// CD$，$AD = BC$，$\angle A=\angle EBC$。又$BE = AB$，所以$BE = CD$，$BE// CD$。在$\triangle ABD$和$\triangle BEC$中，$\begin{cases}AB = BE\\\angle A=\angle EBC\\AD = BC\end{cases}$，所以$\triangle ABD\cong \triangle BEC(SAS)$。
2. 证明：因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD// BC$，$\angle A+\angle ABC = 180^{\circ}$。因为$\angle BOD = 2\angle A$，$\angle BOD=\angle A+\angle ADO$，所以$\angle A=\angle ADO$，则$AB = BD$。因为$AB = BE$，所以$BD = BE$。由（1）知$BE = CD$，$BE// CD$，所以四边形$BECD$是平行四边形。又$BD = BE$，所以平行四边形$BECD$是矩形。

例2 如图，$□ ABCD$的四个内角的平分线分别相交于点$E$，$F$，$G$，$H$. 求证：四边形$EFGH$是矩形.

证明：因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD// BC$，则$\angle DAB+\angle ABC = 180^{\circ}$。由于$AE$平分$\angle DAB$，$BE$平分$\angle ABC$，所以$\angle EAB=\frac{1}{2}\angle DAB$，$\angle EBA=\frac{1}{2}\angle ABC$。那么$\angle EAB+\angle EBA=\frac{1}{2}(\angle DAB + \angle ABC)=\frac{1}{2}×180^{\circ}=90^{\circ}$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle AEB = 90^{\circ}$，即$\angle FEH = 90^{\circ}$。同理可证$\angle EFG = 90^{\circ}$，$\angle FGH = 90^{\circ}$。根据矩形的判定定理：有三个角是直角的四边形是矩形，所以四边形$EFGH$是矩形。

答案： 【解析】：
- 因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD// BC$，则$\angle DAB+\angle ABC = 180^{\circ}$。
- 由于$AE$平分$\angle DAB$，$BE$平分$\angle ABC$，所以$\angle EAB=\frac{1}{2}\angle DAB$，$\angle EBA=\frac{1}{2}\angle ABC$。
- 那么$\angle EAB+\angle EBA=\frac{1}{2}(\angle DAB + \angle ABC)=\frac{1}{2}×180^{\circ}=90^{\circ}$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle AEB = 90^{\circ}$，即$\angle FEH = 90^{\circ}$。
- 同理可证$\angle EFG = 90^{\circ}$，$\angle FGH = 90^{\circ}$。
- 根据矩形的判定定理：有三个角是直角的四边形是矩形，所以四边形$EFGH$是矩形。
【答案】：四边形$EFGH$是矩形。

例3 [2023·乐山]如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$D$为$AB$边上任意一点(不与点$A$，$B$重合)，过点$D$作$DE// BC$，$DF// AC$，分别交$AC$，$BC$于点$E$，$F$，连接$EF$. 求证：四边形$ECFD$是矩形.

证明：$\because DE// BC$，$DF// AC$，$\therefore$四边形$ECFD$是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
$\because\angle C = 90^{\circ}$，$\therefore$平行四边形$ECFD$是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。

答案： 【解析】：
已知$DE// BC$，$DF// AC$，根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得四边形$ECFD$是平行四边形。
又因为$\angle C = 90^{\circ}$，根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形$ECFD$是矩形。
【答案】：
$\because DE// BC$，$DF// AC$，$\therefore$四边形$ECFD$是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
$\because\angle C = 90^{\circ}$，$\therefore$平行四边形$ECFD$是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。