《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册北师大版》

(1)请指出图中所有的相似三角形:$Rt△ABD\backsim Rt△CAD,Rt△ABD\backsim Rt△CBA,Rt△ABC\backsim Rt△DAC$
(2)你能得出$AD^{2} = BD\cdot DC$吗?略

答案： 1. （1）
因为$\angle BAC = 90^{\circ}$，$AD\perp BC$，所以$\angle ADB=\angle ADC = \angle BAC=90^{\circ}$。
在$\triangle ABD$和$\triangle ABC$中：
$\angle B=\angle B$（公共角），$\angle ADB=\angle BAC = 90^{\circ}$，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可得$\triangle ABD\sim\triangle ABC$。
在$\triangle ACD$和$\triangle ABC$中：
$\angle C=\angle C$（公共角），$\angle ADC=\angle BAC = 90^{\circ}$，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可得$\triangle ACD\sim\triangle ABC$。
又因为$\triangle ABD\sim\triangle ABC$，$\triangle ACD\sim\triangle ABC$，所以$\triangle ABD\sim\triangle ACD$。
综上，图中的相似三角形有：$\triangle ABD\sim\triangle ABC$，$\triangle ACD\sim\triangle ABC$，$\triangle ABD\sim\triangle ACD$。
2. （2）
解：因为$\triangle ABD\sim\triangle ACD$，
根据相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例。
对于$\triangle ABD$和$\triangle ACD$，有$\frac{AD}{CD}=\frac{BD}{AD}$（对应边成比例）。
交叉 - 相乘可得：$AD^{2}=BD\cdot DC$。
所以（1）$\triangle ABD\sim\triangle ABC$，$\triangle ACD\sim\triangle ABC$，$\triangle ABD\sim\triangle ACD$；（2）能得出$AD^{2}=BD\cdot DC$。

1. [2022秋·沈阳月考]如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle BAC = 90^{\circ}$,$AD \perp BC$于点D,E为直角边AC的中点,过点D,E作直线交AB的延长线于点F.
(1)若$AB = 6$,$AC = 8$,求BD的长;3.6
(2)求证:$AB\cdot AF = AC\cdot DF$.略

答案： 1. （1）
解：
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle BAC = 90^{\circ}$，$AB = 6$，$AC = 8$，根据勾股定理$BC=\sqrt{AB^{2}+AC^{2}}$，则$BC=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=\sqrt{36 + 64}=\sqrt{100}=10$。
因为$AD\perp BC$，所以$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC=\frac{1}{2}BC\cdot AD$，即$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10× AD$，解得$AD=\frac{24}{5}$。
在$Rt\triangle ABD$中，根据勾股定理$BD=\sqrt{AB^{2}-AD^{2}}$，$AB = 6$，$AD=\frac{24}{5}$，则$BD=\sqrt{6^{2}-\left(\frac{24}{5}\right)^{2}}=\sqrt{36-\frac{576}{25}}=\sqrt{\frac{900 - 576}{25}}=\sqrt{\frac{324}{25}}=\frac{18}{5}$。
2. （2）
证明：
因为$\angle BAC = 90^{\circ}$，$AD\perp BC$，所以$\angle BAC=\angle ADB = 90^{\circ}$，又$\angle ABC=\angle DBA$，所以$\triangle ABC\sim\triangle DBA$，则$\frac{AB}{BD}=\frac{AC}{AD}$，即$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{AD}$。
因为$E$为$AC$中点，$AD\perp BC$，所以$DE = AE=EC$，所以$\angle EDA=\angle EAD$。
因为$\angle BAC = 90^{\circ}$，$\angle BAD+\angle CAD = 90^{\circ}$，$\angle C+\angle CAD = 90^{\circ}$，所以$\angle BAD=\angle C$。
又$\angle EDA=\angle FDB$，所以$\angle FDB=\angle BAD$，$\angle F=\angle F$，所以$\triangle FDB\sim\triangle FAD$，则$\frac{BD}{AD}=\frac{DF}{AF}$。
由$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{AD}$和$\frac{BD}{AD}=\frac{DF}{AF}$，可得$\frac{AB}{AC}=\frac{DF}{AF}$，所以$AB\cdot AF = AC\cdot DF$。
综上，（1）$BD$的长为$\frac{18}{5}$；（2）证明成立。

2. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$AD \perp BC$于点D,$DE \perp AC$于点E,F是AB的中点,连接EF交AD于点G.
(1)求证:$AD^{2} = AB\cdot AE$;
(2)若$AB = 5$,$AE = 4$,求DG的长.

(1)略 (2)$DG=$$\frac {10\sqrt {5}}{13}$

答案： 1. （1）证明：
因为$AD\perp BC$，$DE\perp AC$，所以$\angle ADC=\angle AED = 90^{\circ}$。
又因为$\angle DAE=\angle CAD$（公共角），根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$\triangle AED\sim\triangle ADC$。
则$\frac{AE}{AD}=\frac{AD}{AC}$（相似三角形对应边成比例），即$AD^{2}=AE\cdot AC$。
因为$AB = AC$，所以$AD^{2}=AB\cdot AE$。
2. （2）解：
已知$AB = AC = 5$，$AE = 4$，由$AD^{2}=AB\cdot AE$，可得$AD^{2}=5×4 = 20$，则$AD=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
因为$AB = AC$，$AD\perp BC$，所以$D$为$BC$中点（等腰三角形三线合一）。
又因为$F$是$AB$中点，所以$DF// AC$，$DF=\frac{1}{2}AC$（三角形中位线定理），则$\triangle DFG\sim\triangle AEG$。
所以$\frac{DG}{AG}=\frac{DF}{AE}$，因为$DF=\frac{1}{2}AC=\frac{5}{2}$，$AE = 4$，设$DG=x$，则$AG = 2\sqrt{5}-x$。
那么$\frac{x}{2\sqrt{5}-x}=\frac{\frac{5}{2}}{4}$，即$4x=\frac{5}{2}(2\sqrt{5}-x)$。
展开得$4x = 5\sqrt{5}-\frac{5}{2}x$。
移项得$4x+\frac{5}{2}x = 5\sqrt{5}$。
合并同类项得$\frac{8x + 5x}{2}=5\sqrt{5}$，即$\frac{13x}{2}=5\sqrt{5}$。
解得$x=\frac{10\sqrt{5}}{13}$。
综上，（1）得证；（2）$DG$的长为$\frac{10\sqrt{5}}{13}$。

3. 如图,已知矩形ABCD的两条对角线相交于点O,过点A作$AE \perp BD$分别交BD,BC于点G,E.
(1)求证:$BE^{2} = EG\cdot EA$;略
(2)连接CG,若$BE = CE$,求证:$\angle ECG = \angle EAC$.略

答案： 1. （1）
证明：
因为四边形$ABCD$是矩形，所以$\angle ABC = 90^{\circ}$。
又因为$AE\perp BD$，所以$\angle BGE=\angle ABE = 90^{\circ}$。
在$\triangle BGE$和$\triangle ABE$中，$\angle BEG=\angle AEB$（公共角），$\angle BGE=\angle ABE$。
根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$\triangle BGE\sim\triangle ABE$。
由相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例，即$\frac{BE}{EA}=\frac{EG}{BE}$。
所以$BE^{2}=EG\cdot EA$。
2. （2）
证明：
因为$BE = CE$，$\angle ABC = 90^{\circ}$，所以$AE = CE$（直角三角形斜边中线等于斜边的一半，这里可通过取$AC$中点$F$，连接$EF$，$EF// AB$，$EF=\frac{1}{2}AB$，再结合矩形性质得到$AE = CE$；也可利用勾股定理$AE^{2}=AB^{2}+BE^{2}$，$CE^{2}=BE^{2}+AB^{2}$（因为$AB = CD$，矩形对边相等））。
由（1）知$BE^{2}=EG\cdot EA$，又$BE = CE$，所以$CE^{2}=EG\cdot EA$，即$\frac{CE}{EA}=\frac{EG}{CE}$。
又因为$\angle CEG=\angle AEC$（公共角）。
根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得$\triangle CEG\sim\triangle AEC$。
由相似三角形的性质：相似三角形对应角相等，所以$\angle ECG=\angle EAC$。
综上，（1）得证$BE^{2}=EG\cdot EA$；（2）得证$\angle ECG=\angle EAC$。