《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册北师大版》

1. 一个不透明的袋子中装有4个只有颜色不同的小球,其中2个红球,2个白球,摇匀后从中一次性摸出两个小球.
(1)请用列表或画树状图的方法列出所有可能出现的结果.
(2)若摸到的两个小球颜色相同,则甲获胜;若摸到的两个小球颜色不同,则乙获胜.这个规则对甲公平吗?请说明理由.

答案： $(1)$ 列表法列出所有可能结果
设两个红球为$红_1$，$红_2$；两个白球为$白_1$，$白_2$。
列表如下：
| | $红_1$ | $红_2$ | $白_1$ | $白_2$ |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $红_1$ | - | $(红_1,红_2)$ | $(红_1,白_1)$ | $(红_1,白_2)$ |
| $红_2$ | $(红_2,红_1)$ | - | $(红_2,白_1)$ | $(红_2,白_2)$ |
| $白_1$ | $(白_1,红_1)$ | $(白_1,红_2)$ | - | $(白_1,白_2)$ |
| $白_2$ | $(白_2,红_1)$ | $(白_2,红_2)$ | $(白_2,白_1)$ | - |
所有可能出现的结果有$(红_1,红_2)$、$(红_1,白_1)$、$(红_1,白_2)$、$(红_2,红_1)$、$(红_2,白_1)$、$(红_2,白_2)$、$(白_1,红_1)$、$(白_1,红_2)$、$(白_1,白_2)$、$(白_2,红_1)$、$(白_2,红_2)$、$(白_2,白_1)$，共$6$种（去除重复情况后）。
$(2)$ 判断规则是否公平
解：这个规则对甲不公平。
理由如下：
由$(1)$可知，所有可能的结果有$n = 6$种。
摸到两个小球颜色相同的情况有$2$种（$(红_1,红_2)$和$(白_1,白_2)$），根据古典概型概率公式$P(A)=\frac{m}{n}$（其中$m$是$A$包含的基本事件个数，$n$是基本事件总数），则甲获胜的概率$P_{甲}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
摸到两个小球颜色不同的情况有$m = 4$种（$(红_1,白_1)$、$(红_1,白_2)$、$(红_2,白_1)$、$(红_2,白_2)$），则乙获胜的概率$P_{乙}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
因为$\frac{1}{3}\neq\frac{2}{3}$，即$P_{甲}\neq P_{乙}$，所以这个规则对甲不公平。
综上，答案依次为：$(1)$ 见上述列表；$(2)$ 不公平，理由见上述解析。

2. 小明和小亮用如图所示的转盘进行游戏,三个扇形的圆心角均相等,分别标有数字1,2,3.游戏规则如下:每人各转动一次转盘,若两次转盘指针所指的数字之积为偶数,则小明获胜;若两次转盘指针所指的数字之积为奇数,则小亮获胜.
(1)用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果.列表略.共有9种等可能的结果.
(2)你认为这个游戏公平吗?请说明理由.不公平.理由略.

答案： 1. （1）画树状图：
第一次转动转盘有$3$种结果（$1$，$2$，$3$），第二次转动转盘也有$3$种结果（$1$，$2$，$3$）。
树状图如下：
开始
第一次：$1$
第二次：$1$，积为$1×1 = 1$
第二次：$2$，积为$1×2 = 2$
第二次：$3$，积为$1×3 = 3$
第一次：$2$
第二次：$1$，积为$2×1 = 2$
第二次：$2$，积为$2×2 = 4$
第二次：$3$，积为$2×3 = 6$
第一次：$3$
第二次：$1$，积为$3×1 = 3$
第二次：$2$，积为$3×2 = 6$
第二次：$3$，积为$3×3 = 9$
所有可能出现的结果有$(1,1)$，$(1,2)$，$(1,3)$，$(2,1)$，$(2,2)$，$(2,3)$，$(3,1)$，$(3,2)$，$(3,3)$，共$9$种。
2. （2）判断游戏是否公平：
解：根据（1）中结果，积为偶数的有$(1,2)$，$(2,1)$，$(2,2)$，$(2,3)$，$(3,2)$，共$5$种；积为奇数的有$(1,1)$，$(1,3)$，$(3,1)$，$(3,3)$，共$4$种。
小明获胜的概率$P_{小明}=\frac{5}{9}$，小亮获胜的概率$P_{小亮}=\frac{4}{9}$。
因为$\frac{5}{9}\neq\frac{4}{9}$，即两人获胜的概率不相等。
所以这个游戏不公平。

3. (数据观念)阅读对话,解答问题.

(1)分别用a,b表示小冬从小丽、小兵的袋子中抽出的卡片上标有的数字,请用画树状图或列表的方法写出(a,b)所有可能的取值;
列表如下:
| a\b | 1 | 2 | 3 |
|----|----|----|----|
| 1 | (1,1) | (1,2) | (1,3) |
| 2 | (2,1) | (2,2) | (2,3) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | (3,3) |
| 4 | (4,1) | (4,2) | (4,3) |
(2)求(a,b)所有可能的取值中使关于x的一元二次方程$x^{2}-ax+2b=0$有实数根的概率.
$\frac {1}{4}$

答案：
(1)列表如下:
| a\b | 1 | 2 | 3 |
|----|----|----|----|
| 1 | (1,1) | (1,2) | (1,3) |
| 2 | (2,1) | (2,2) | (2,3) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | (3,3) |
| 4 | (4,1) | (4,2) | (4,3) |
(2)$\frac {1}{4}$