《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册北师大版》

1. 一元二次方程的求根公式
公 式:一元二次方程 $ ax ^ { 2 } + b x + c = 0 ( a \neq 0 ) $的求根公式为$ x = \frac { - b \pm \sqrt { b ^ { 2 } - 4 a c } } { 2 a } $.
注 意:$ b ^ { 2 } - 4 a c \geq 0 $.
2. 用公式法解一元二次方程的一般步骤
步 骤:(1)把方程化为一般形式,确定$ a $,$ b $,$ c $的值;
(2)求出$ b ^ { 2 } - 4 a c $的值;
(3)若$ b ^ { 2 } - 4 a c \geq 0 $,则把$ a $,$ b $,$ c $的值代入求根公式中,求出$ x _ { 1 } $,$ x _ { 2 } $;若$ b ^ { 2 } - 4 a c ＜ 0 $,则方程没有实数根.
3. 一元二次方程的根的情况与判别式的关系
关 系:(1)当$ \Delta = b ^ { 2 } - 4 a c ＞ 0 $时,方程有两个不相等的实数根;
(2)当$ \Delta = b ^ { 2 } - 4 a c = 0 $时,方程有两个相等的实数根;
(3)当$ \Delta = b ^ { 2 } - 4 a c ＜ 0 $时,方程没有实数根.

答案： 1. $ x = \frac { - b \pm \sqrt { b ^ { 2 } - 4 a c } } { 2 a } $ 3. 不相等 相等 没有

例1 用公式法解下列方程:
(1)$ x ^ { 2 } - 2 x - 2 = 0 $;$ x _ { 1 } = 1 + \sqrt { 3 } $，$ x _ { 2 } = 1 - \sqrt { 3 } $
(2)$ 2 x ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0 $;$ x _ { 1 } = \frac { 2 + \sqrt { 14 } } { 2 } $，$ x _ { 2 } = \frac { 2 - \sqrt { 14 } } { 2 } $
【点悟】公式法是解一元二次方程的重要方法,一个一元二次方程,只要$ b ^ { 2 } - 4 a c \geq 0 $,都可以用公式法求得其解.

答案：
(1)$ x _ { 1 } = 1 + \sqrt { 3 } $，$ x _ { 2 } = 1 - \sqrt { 3 } $
(2)$ x _ { 1 } = \frac { 2 + \sqrt { 14 } } { 2 } $，$ x _ { 2 } = \frac { 2 - \sqrt { 14 } } { 2 } $

例2 当$ m $为何值时,关于$ x $的一元二次方程$ m x ^ { 2 } - 2 ( 2 m + 1 ) x + 4 m - 1 = 0 $:
(1)有两个相等实数根?
(2)有两个不相等的实数根?
(3)无实根?

答案：
(1)当$ m = - \frac { 1 } { 5 } $时，方程有两个相等实数根.
(2)当$ m ＞ - \frac { 1 } { 5 } $且$ m \neq 0 $时，方程有两个不相等的实数根.
(3)当$ m ＜ - \frac { 1 } { 5 } $时，方程无实数根.

例3 我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中提出这样一个问题:直田积八百六十四步,只云阔不及长一十二步,问阔及长各几步.意思是:矩形面积864平方步,宽比长少12步,问宽和长各几步.你来解决这道古算题,可以求得矩形的长为36步.

答案： 36

1. [2023·滨州]一元二次方程$ x ^ { 2 } + 3 x - 2 = 0 $根的情况为 (A)
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根
D. 不能判定

答案： A