《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册北师大版》

(1)一个盒子中有 1 个红球、2 个白球和 2 个蓝球,这些球除颜色外都相同,从中随机摸出一个球,记下颜色后放回,再从中随机摸出一个球,求两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率;
(2)在上面的问题中,如果从中随机摸出一个球,记下颜色后不放回,再从中随机摸出一个球,那么两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率又是多少?

答案： $(1)$ 有放回摸球时
- 首先明确配成紫色的情况：
因为红球和蓝球搭配可配成紫色，所以需要计算第一次摸红球且第二次摸蓝球，以及第一次摸蓝球且第二次摸红球这两种情况的概率。
已知盒子里一共有$1 + 2+2=5$个球。
根据古典概型概率公式$P(A)=\frac{m}{n}$（其中$n$是基本事件总数，$m$是事件$A$包含的基本事件数）。
第一次摸红球的概率$P_1=\frac{1}{5}$，因为摸球后放回，所以第二次摸蓝球的概率$P_2=\frac{2}{5}$，则第一次摸红球且第二次摸蓝球的概率$P_{红 - 蓝}=\frac{1}{5}×\frac{2}{5}=\frac{2}{25}$。
第一次摸蓝球的概率$P_3 = \frac{2}{5}$，第二次摸红球的概率$P_4=\frac{1}{5}$，则第一次摸蓝球且第二次摸红球的概率$P_{蓝 - 红}=\frac{2}{5}×\frac{1}{5}=\frac{2}{25}$。
然后计算两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率$P$：
$P = P_{红 - 蓝}+P_{蓝 - 红}=\frac{2}{25}+\frac{2}{25}=\frac{4}{25}$。
$(2)$ 无放回摸球时
同样先明确配成紫色的情况：
还是红球和蓝球搭配可配成紫色，计算第一次摸红球且第二次摸蓝球，以及第一次摸蓝球且第二次摸红球这两种情况的概率。
第一次摸红球的概率$P_1=\frac{1}{5}$，摸出一个红球后不放回，此时盒子里还剩$4$个球，第二次摸蓝球的概率$P_2=\frac{2}{4}$，则第一次摸红球且第二次摸蓝球的概率$P_{红 - 蓝}=\frac{1}{5}×\frac{2}{4}=\frac{1}{10}$。
第一次摸蓝球的概率$P_3=\frac{2}{5}$，摸出一个蓝球后不放回，此时盒子里还剩$4$个球，第二次摸红球的概率$P_4=\frac{1}{4}$，则第一次摸蓝球且第二次摸红球的概率$P_{蓝 - 红}=\frac{2}{5}×\frac{1}{4}=\frac{1}{10}$。
最后计算两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率$P$：
$P = P_{红 - 蓝}+P_{蓝 - 红}=\frac{1}{10}+\frac{1}{10}=\frac{1}{5}$。
综上，$(1)$的概率为$\boldsymbol{\frac{4}{25}}$；$(2)$的概率为$\boldsymbol{\frac{1}{5}}$。

1. 一个不透明的黑色袋子中装有 4 个除颜色外其他均相同的小球,其中红球 2 个,黄球 1 个,白球 1 个,从袋子中随机摸出 1 个球,记录颜色后放回,再随机摸出 1 个球,两次摸出的球的颜色不同的概率是$\frac{5}{8}$.

答案： $\frac{5}{8}$

2. 在一个不透明的盒子中装有三张卡片,分别标有数字 0,1,3,这些卡片除数字不同外其余均相同. 洗匀后,小红从盒子中随机抽取一张卡片记下数字后放回,洗匀后再随机抽取一张卡片,两次抽取的卡片上数字之积为偶数的概率为$\frac{5}{9}$.

答案： $\frac{5}{9}$

3. 把形状完全相同、风景不同的两张图片全部从中间剪断,再把四张形状相同的小图片混合在一起,从四张图片中随机摸取一张,接着再随机摸取一张,则这两张小图片恰好能合成一张完整图片的概率为$\frac{1}{3}$.

答案： $\frac{1}{3}$

4. 现有四张正面分别标有数字 -1,0,1,2 的不透明卡片,它们除数字外其余完全相同,将它们背面朝上洗匀. 若从中随机抽取一张卡片不放回,再随机抽取一张,前后两次抽取的卡片上的数字分别记为 m,n. 请用画树状图(或列表)的方法,求点 $ P(m,n) $ 在第一象限的概率.

答案： 【解析】：本题可通过列表法列出所有可能的结果，再根据第一象限内点的坐标特征找出点$P(m,n)$在第一象限的结果，最后根据概率公式计算出点$P(m,n)$在第一象限的概率。
- **步骤一：列出所有可能的结果**
已知有四张正面分别标有数字$-1$，$0$，$1$，$2$的不透明卡片，从中随机抽取一张卡片不放回，再随机抽取一张，前后两次抽取的卡片上的数字分别记为$m$，$n$。
我们可以通过列表法来列出所有可能的结果：
| | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $-1$ | | $(-1,0)$ | $(-1,1)$ | $(-1,2)$ |
| $0$ | $(0,-1)$ | | $(0,1)$ | $(0,2)$ |
| $1$ | $(1,-1)$ | $(1,0)$ | | $(1,2)$ |
| $2$ | $(2,-1)$ | $(2,0)$ | $(2,1)$ | |
从表格中可以看出，一共有$12$种等可能的结果。
- **步骤二：找出点$P(m,n)$在第一象限的结果**
在平面直角坐标系中，第一象限内的点的坐标特征是横坐标$m\gt0$，纵坐标$n\gt0$。
根据上述特征，从表格中可以找出点$P(m,n)$在第一象限的结果有$(1,2)$，$(2,1)$，共$2$种。
- **步骤三：计算点$P(m,n)$在第一象限的概率**
根据概率公式$P(A)=\dfrac{事件A发生的结果数}{所有可能的结果数}$，已知点$P(m,n)$在第一象限的结果有$2$种，所有可能的结果有$12$种，所以点$P(m,n)$在第一象限的概率为：
$P=\dfrac{2}{12}=\dfrac{1}{6}$
【答案】：$\dfrac{1}{6}$