《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册北师大版》

4. [2024·沈阳铁西区期末]如图，在矩形$ABCD$中，$AB = 8$，$BC = 15$，以点$B$为圆心，以适当长为半径画弧，分别交$BC$，$BD$于点$E$，$F$，再分别以点$E$，$F$为圆心，以大于$\frac{1}{2}EF$长为半径画弧，两弧在$\angle CBD$内部交于点$P$，作射线$BP$，过点$C$作$BP$的垂线分别交$BP$，$BD$，$AD$于点$G$，$M$，$N$，则$CN$的长为______。

$2\sqrt {17}$

答案： $2\sqrt {17}$

5. [2022·巴中]如图，在$□ ABCD$中，$E$为边$BC$的中点，连接$AE$并延长，交$DC$的延长线于点$F$，延长$EC$至点$G$，使$CG = CE$，连接$DG$，$DE$，$FG$。
（1）求证：$\triangle ABE\cong\triangle FCE$；证明：因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB// DF$，根据两直线平行，内错角相等，可得$\angle BAE=\angle CFE$，$\angle ABE=\angle FCE$。又因为$E$为$BC$中点，所以$BE = CE$。在$\triangle ABE$和$\triangle FCE$中，$\begin{cases}\angle BAE=\angle CFE\\\angle ABE=\angle FCE\\BE = CE\end{cases}$，根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可证$\triangle ABE\cong\triangle FCE$。
（2）若$AD = 2AB$，求证：四边形$DEFG$是矩形。证明：由$\triangle ABE\cong\triangle FCE$，可得$AB = CF$，$AE = EF$。因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB = CD$，又$AD = 2AB$，所以$AD = DF$。因为$AE = EF$，根据等腰三角形三线合一，可得$DE\perp AF$，即$\angle DEF = 90^{\circ}$。因为$CE = CG$，$AE = EF$，所以四边形$DEFG$是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。又因为$\angle DEF = 90^{\circ}$，所以平行四边形$DEFG$是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。

答案： 【解析】：
（1）因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB// DF$，根据两直线平行，内错角相等，可得$\angle BAE=\angle CFE$，$\angle ABE=\angle FCE$。
又因为$E$为$BC$中点，所以$BE = CE$。
在$\triangle ABE$和$\triangle FCE$中，$\begin{cases}\angle BAE=\angle CFE\\\angle ABE=\angle FCE\\BE = CE\end{cases}$，根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可证$\triangle ABE\cong\triangle FCE$。
（2）由$\triangle ABE\cong\triangle FCE$，可得$AB = CF$，$AE = EF$。
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB = CD$，又$AD = 2AB$，所以$AD = DF$。
因为$AE = EF$，根据等腰三角形三线合一，可得$DE\perp AF$，即$\angle DEF = 90^{\circ}$。
因为$CE = CG$，$AE = EF$，所以四边形$DEFG$是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
又因为$\angle DEF = 90^{\circ}$，所以平行四边形$DEFG$是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。
【答案】：
（1）证明见上述解析；
（2）证明见上述解析。

6. 如图，在矩形$ABCD$中，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，$\angle AOB = 60^{\circ}$，将对角线$AC$所在的直线绕点$O$顺时针旋转角$\alpha(0^{\circ}\lt\alpha\lt120^{\circ})$，所得的直线$l$分别与$AD$，$BC$相交于点$E$，$F$。
（1）求证：$\triangle AOE\cong\triangle COF$。
（2）当旋转角$\alpha$为$90^{\circ}$时，四边形$AFCE$为菱形？试说明理由。

答案： 1. （1）证明：
因为四边形$ABCD$是矩形，所以$AD// BC$，$OA = OC$。
所以$\angle OAE=\angle OCF$。
在$\triangle AOE$和$\triangle COF$中，$\begin{cases}\angle OAE=\angle OCF\\OA = OC\\\angle AOE=\angle COF\end{cases}$（对顶角相等）。
根据$ASA$（角 - 边 - 角）判定定理，可得$\triangle AOE\cong\triangle COF$。
2. （2）解：
当$\alpha = 90^{\circ}$时，四边形$AFCE$为菱形。
理由如下：
由（1）知$\triangle AOE\cong\triangle COF$，所以$OE = OF$。
又因为$OA = OC$，所以四边形$AFCE$是平行四边形。
当$\alpha=\angle AOF = 90^{\circ}$时，$AC\perp EF$。
根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，所以平行四边形$AFCE$是菱形。
综上，（1）已证明$\triangle AOE\cong\triangle COF$；（2）当$\alpha = 90^{\circ}$时，四边形$AFCE$为菱形。