《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册北师大版》

1. 图形相似的概念
相似图形：我们把形状相同的图形叫做相似图形.
注 意：图形的相似要求形状完全相同，大小，位置不一定相同. 若大小也相同，则它们是全等图形.

答案： 形状相同 形状完全相同 全等图形

2. 相似多边形
定 义：各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.
表示方法：四边形 $ABCD$ 与四边形 $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 相似，记作四边形 $ABCD \backsim$ 四边形 $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$，“$\backsim$”读作相似于.
性 质：相似多边形对应角相等，对应边的比相等.
相 似 比：相似多边形对应边的比叫做相似比.

答案： 相等 成比例 相似于 相等 相等 相似比

例 1 如图，梯形 $ABCD$ 与梯形 $A'B'C'D'$ 相似（$A$，$B$，$C$，$D$ 的对应点分别为 $A'$，$B'$，$C'$，$D'$），则 $\alpha=$118$^{\circ}$，$\beta=$70$^{\circ}$，$x=$6，$y=$12，$z=$6.

答案： 118 70 6 12 6

例 2 如图，矩形 $A'B'C'D'$ 在矩形 $ABCD$ 的内部，$AB // A'B'$，$AD // A'D'$，且 $AD = 12$，$AB = 6$，设 $AB$ 与 $A'B'$，$BC$ 与 $B'C'$，$CD$ 与 $C'D'$，$DA$ 与 $D'A'$ 之间的距离分别为 $a$，$b$，$c$，$d$.
(1) 若 $a = b = c = d = 2$，则矩形 $A'B'C'D' \backsim$ 矩形 $ABCD$ 吗？为什么？不相似
(2) 若矩形 $A'B'C'D' \backsim$ 矩形 $ABCD$，$a$，$b$，$c$，$d$ 应满足什么等量关系？请说明理由.$2d + 2b = a + c$

答案： 1. （1）
解：
已知$AD = 12$，$AB = 6$，$a = b = c = d = 2$。
则$A'D'=AD-(a + c)=12-(2 + 2)=8$，$A'B'=AB-(b + d)=6-(2 + 2)=2$。
计算$\frac{A'B'}{AB}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$，$\frac{A'D'}{AD}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$。
因为$\frac{A'B'}{AB}\neq\frac{A'D'}{AD}$，根据相似多边形的定义：对应边成比例，对应角相等（矩形的四个角都是$90^{\circ}$，角一定相等），这里对应边不成比例。
所以矩形$A'B'C'D'$与矩形$ABCD$不相似。
2. （2）
解：
因为$A'D'=AD-(a + c)=12-(a + c)$，$A'B'=AB-(b + d)=6-(b + d)$。
又因为矩形$A'B'C'D'\sim$矩形$ABCD$，所以$\frac{A'B'}{AB}=\frac{A'D'}{AD}$。
即$\frac{6-(b + d)}{6}=\frac{12-(a + c)}{12}$。
交叉 - 相乘得：$12×[6-(b + d)]=6×[12-(a + c)]$。
展开式子：$72-12(b + d)=72 - 6(a + c)$。
移项可得：$12(b + d)=6(a + c)$。
化简得：$2(b + d)=a + c$。
综上，（1）矩形$A'B'C'D'$与矩形$ABCD$不相似；（2）$a$，$b$，$c$，$d$满足$2(b + d)=a + c$。

1. 四边形 $ABCD$ 的四条边长分别为 $54\mathrm{cm}$，$48\mathrm{cm}$，$45\mathrm{cm}$，$63\mathrm{cm}$，另一个和它相似的四边形的最短边长为 $15\mathrm{cm}$，则这个四边形的最长边为（C）
A. $18\mathrm{cm}$
B. $16\mathrm{cm}$
C. $21\mathrm{cm}$
D. $24\mathrm{cm}$

答案： C

2. 在四边形 $ABCD$ 与四边形 $A'B'C'D'$ 中，$AB = 3$，$BC = 5$，$\angle D = 50^{\circ}$，$A'B' = 6$，若四边形 $ABCD \backsim$ 四边形 $A'B'C'D'$，则 $B'C' =$10，$\angle D' =$50$^{\circ}$.

答案： 10 50