《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册北师大版》

7. [2022·遵义]将正方形$ABCD$和菱形$EFGH$按照如图所示摆放，顶点$D$与顶点$H$重合，菱形$EFGH$的对角线$HF$经过点$B$，点$E$，$G$分别在$AB$，$BC$上。
（1）求证：$\triangle ADE\cong\triangle CDG$；(略)
（2）若$AE = BE = 2$，求$BF$的长。($2\sqrt {2}$)

答案： 1. （1）证明：
因为四边形$ABCD$是正方形，所以$AD = CD$，$\angle A=\angle C = 90^{\circ}$。
因为四边形$EFGH$是菱形，所以$DE = DG$。
在$Rt\triangle ADE$和$Rt\triangle CDG$中，$\left\{\begin{array}{l}AD = CD\\DE = DG\end{array}\right.$。
根据$HL$（斜边 - 直角边）定理，可得$Rt\triangle ADE\cong Rt\triangle CDG$。
2. （2）解：
因为$AE = BE = 2$，所以$AB=AE + BE=4$。
在$Rt\triangle ADE$中，根据勾股定理$DE=\sqrt{AD^{2}+AE^{2}}$，又$AD = AB = 4$，$AE = 2$，则$DE=\sqrt{4^{2}+2^{2}}=\sqrt{16 + 4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
因为四边形$EFGH$是菱形，所以$BE = BG = 2$，$EG\perp DF$。
先求$EG$的长度，在$Rt\triangle BEG$中，$EG=\sqrt{BE^{2}+BG^{2}}$（因为$\angle EBG = 90^{\circ}$，$BE = BG = 2$），所以$EG=\sqrt{2^{2}+2^{2}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。
设$OB=x$（$O$为$EG$与$DF$交点），因为$S_{\triangle BEG}=\frac{1}{2}BE\cdot BG=\frac{1}{2}EG\cdot OB$，即$\frac{1}{2}×2×2=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}x$，解得$x = \sqrt{2}$。
又因为$DE = DG = 2\sqrt{5}$，在$Rt\triangle DEO$中，$DO=\sqrt{DE^{2}-EO^{2}}$，$EO=\frac{1}{2}EG=\sqrt{2}$，所以$DO=\sqrt{(2\sqrt{5})^{2}-(\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{20 - 2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$。
则$DF=2DO = 6\sqrt{2}$，$BF=DF - DB$。
正方形$ABCD$中$DB=\sqrt{AB^{2}+AD^{2}}=\sqrt{4^{2}+4^{2}}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$。
所以$BF=6\sqrt{2}-4\sqrt{2}=2\sqrt{2}$。
综上，（1）证明见上述过程；（2）$BF$的长为$2\sqrt{2}$。

8. [2023春·沈阳期中]通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的。下面是一个案例，请补充完整。
原题：如图1，点$E$，$F$分别在正方形$ABCD$的边$BC$，$CD$上，且$\angle EAF = 45^{\circ}$，连接$EF$，则$EF = BE + DF$，试说明理由。
【思路梳理】
（1）如图1，$\because AB = CD$，$\therefore$把$\triangle ABE$绕点$A$逆时针旋转$90^{\circ}$至$\triangle ADG$，可使$AB$与$AD$重合。$\because\angle ADC=\angle B = 90^{\circ}$，$\angle ADG=\angle B$，$\therefore\angle ADF+\angle ADG = 180^{\circ}$，$\therefore$点$F$，$D$，$G$共线。根据SAS（填“SSS”“ASA”“AAS”或“SAS”），易证$\triangle AFG\cong$$\triangle AFE$，得$EF = BE + DF$。
【类比引申】
（2）如图2，在四边形$ABCD$中，$AB = AD$，$\angle BAD = 90^{\circ}$，点$E$，$F$分别在边$BC$，$CD$上，且$\angle EAF = 45^{\circ}$。若$\angle B$，$\angle D$都不是直角，则当$\angle B$与$\angle D$满足等量关系$\angle B+\angle D=180^{\circ }$时，仍有$EF = BE + DF$。
【联想拓展】
（3）如图3，在$\triangle ABC$中，$\angle BAC = 90^{\circ}$，$AB = AC$，点$D$，$E$均在边$BC$上，且$\angle DAE = 45^{\circ}$。猜想$BD$，$DE$，$EC$应满足的等量关系，并写出推理过程。



猜想:$DE^{2}=BD^{2}+EC^{2}$.理由略.

答案：
(1)SAS $△AFE$
(2)$∠B+∠D=180^{\circ }$
(3)猜想:$DE^{2}=BD^{2}+EC^{2}$.理由略.