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1. 二次根式的概念
定 义：形如____的式子叫做二次根式.
注 意：$a$表示一个数或一个含字母的代数式.
条 件：$a\geqslant0$.
2. 二次根式的性质
性 质：(1)$\sqrt{a}\geqslant0$____；
(2)$(\sqrt{a})^{2}=$____($a\geqslant0$)；
(3)$\sqrt{a^{2}}=\vert a\vert=\begin{cases}a(a\geqslant0),\\ -a(a\lt0).\end{cases}$
说 明：(1)$\sqrt{a}(a\geqslant0)$表示非负数$a$的算术平方根；
(2)利用$(\sqrt{a})^{2}=a(a\geqslant0)$可进行化简，也可反过来逆用，即$a = (\sqrt{a})^{2}(a\geqslant0)$.
比 较：$(\sqrt{a})^{2}$与$\sqrt{a^{2}}$的区别.
定 义：形如____的式子叫做二次根式.
注 意：$a$表示一个数或一个含字母的代数式.
条 件：$a\geqslant0$.
2. 二次根式的性质
性 质：(1)$\sqrt{a}\geqslant0$____；
(2)$(\sqrt{a})^{2}=$____($a\geqslant0$)；
(3)$\sqrt{a^{2}}=\vert a\vert=\begin{cases}a(a\geqslant0),\\ -a(a\lt0).\end{cases}$
说 明：(1)$\sqrt{a}(a\geqslant0)$表示非负数$a$的算术平方根；
(2)利用$(\sqrt{a})^{2}=a(a\geqslant0)$可进行化简，也可反过来逆用，即$a = (\sqrt{a})^{2}(a\geqslant0)$.
比 较：$(\sqrt{a})^{2}$与$\sqrt{a^{2}}$的区别.
答案：
$1. \sqrt{a} (a\geqslant0) 2. (a\geqslant0) a$
例 1 下列各式$\sqrt{2}$、$\sqrt[3]{5}$、$-\sqrt{3}$、$\sqrt{-7}$、$\sqrt{x^{2}+1}$中，二次根式有（ ）
A.$2$个
B.$3$个
C.$4$个
D.$5$个
A.$2$个
B.$3$个
C.$4$个
D.$5$个
答案：
【例1】B
例 2 (1)[2023·江西]若$\sqrt{a - 4}$有意义，则$a$的值可以是____.
(2)若$\frac{\sqrt{x - 2}}{x - 3}$在实数范围内有意义，则实数$x$的取值范围是____.
(2)若$\frac{\sqrt{x - 2}}{x - 3}$在实数范围内有意义，则实数$x$的取值范围是____.
答案：
【例2】
(1)6(答案不唯一$) (2)x\geqslant2 $且$ x\neq3$
(1)6(答案不唯一$) (2)x\geqslant2 $且$ x\neq3$
例 3 计算：
(1)$(\sqrt{7})^{2}$； (2)$-(\sqrt{5})^{2}$；
(3)$\sqrt{(3 - \sqrt{13})^{2}}$；
(4)$\sqrt{3.14^{2} - 6.28\pi+\pi^{2}}$.
【点悟】本题主要考查$(\sqrt{a})^{2}=a(a\geqslant0)$和$\sqrt{a^{2}}=\vert a\vert$的应用，易错点是当$a\lt0$时，$\vert a\vert=-a$.
(1)$(\sqrt{7})^{2}$； (2)$-(\sqrt{5})^{2}$；
(3)$\sqrt{(3 - \sqrt{13})^{2}}$；
(4)$\sqrt{3.14^{2} - 6.28\pi+\pi^{2}}$.
【点悟】本题主要考查$(\sqrt{a})^{2}=a(a\geqslant0)$和$\sqrt{a^{2}}=\vert a\vert$的应用，易错点是当$a\lt0$时，$\vert a\vert=-a$.
答案：
【例$3】(1)7 (2)-5 (3)\sqrt{13}-3$
$(4)\pi-3.14$
$(4)\pi-3.14$
例 4 若实数$x$、$y$满足$\vert x - 4\vert+\sqrt{y - 8}=0$，则以$x$、$y$的值为边长的等腰三角形的周长为____.
【点悟】(1)绝对值、算术平方根、平方都是非负数；(2)若几个非负数的和等于$0$，则每一个非负数都等于$0$；(3)与三角形边长有关的题目，结果需验证是否满足三角形的三边关系.
【点悟】(1)绝对值、算术平方根、平方都是非负数；(2)若几个非负数的和等于$0$，则每一个非负数都等于$0$；(3)与三角形边长有关的题目，结果需验证是否满足三角形的三边关系.
答案：
【例4】20
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