《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册华师大版》

13. [2024·沁县三模]阅读材料并解决问题.
(一)定义中话中点
若点$M$是线段$AB$的中点，则$AM = MB$；反过来，若点$M$在线段$AB$上，且$AM = MB$，则点$M$是线段$AB$的中点.
(二)图形运动中话中点
(1)$AM$绕点$M$旋转$180^{\circ}$后与$BM$重合；
(2)$AM$沿$A$到$M$的方向平移$AM$长度得到$MB$；
(3)$AB$沿它的垂直平分线对折后$AM$与$BM$重合.
(三)证中点
如图 1，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，点$E$在边$AB$上，点$D$在边$AC$的延长线上，且$BE = CD$，连结$ED$交$BC$于点$F$. 求证：点$F$为$ED$的中点.
思路：欲证明点$F$为$ED$的中点，即$EF = FD$，从运动角度看，$EF$沿射线$EF$方向平移到$FD$即可，则可将$EF$所在的三角形平移. 如图 2，将$\triangle EFB$沿射线$EF$平移到$\triangle FDB'$的位置，只要证明$\triangle EFB\cong\triangle FDB'$即可. 辅助线作法：如图 2，过点$D$作$DM// BC$，交$AB$的延长线于点$M$，过点$F$作$B'N// AB$，交$MD$于点$B'$、交$AC$于点$N$.
证明：$\because AM// NB'$，
$\therefore\angle 1 = \angle 2$，$\angle 3 = \angle 4$.
$\because BC// MD$，$\therefore\angle 4 = \angle 5$，$\therefore\angle 3 = \angle 5$.
$\because BC// MD$，$\therefore\frac{AB}{BM}=\frac{AC}{CD}$(依据 1).
$\because AB = AC$，$\therefore BM = CD$.
$\because CD = BE$，$\therefore BM = BE$.
$\because BF// MB'$，$BM// FB'$
$\therefore$四边形$BMB'F$是平行四边形，
$\therefore BM = B'F$，$\therefore BE = B'F$，
$\therefore\triangle BEF\cong\triangle B'FD$(依据 2)，
$\therefore FE = FD$，
即点$F$为$ED$的中点.
任务一：材料中依据 1 为_________________；依据 2 为________.
任务二：材料中例题从平移角度作辅助线证明中点，请从旋转的角度作辅助线证明中点，并写出证明过程.
任务三：如图 3，在四边形$ABCD$中，$AB = 2\sqrt{2}$，$CD = 2$，$\angle A = 105^{\circ}$，$\angle D = 120^{\circ}$，点$E$为边$AD$的中点，连结$BE$、$CE$，$\angle BEC = 90^{\circ}$，直接写出$BC$的长.

答案： 任务一
- 依据$1$：因为$BC// MD$，所以$\frac{AB}{BM}=\frac{AC}{CD}$，依据是平行线分线段成比例定理；
- 依据$2$：在$\triangle BEF$和$\triangle B'FD$中，$\angle 1 = \angle 2$，$\angle 3=\angle 5$，$BE = B'F$，所以$\triangle BEF\cong\triangle B'FD$，依据是$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等）。
任务二
证明：
过点$E$作$EG// AC$交$BC$于点$G$。
- 因为$EG// AC$，所以$\angle EGB=\angle ACB$。
又因为$AB = AC$，所以$\angle ABC=\angle ACB$，则$\angle EGB=\angle ABC$，所以$EB = EG$。
- 因为$EG// AC$，所以$\angle GEF=\angle D$，$\angle EGF=\angle DCF$。
又因为$BE = CD$，$EB = EG$，所以$EG = CD$。
- 在$\triangle EGF$和$\triangle DCF$中：
$\begin{cases}\angle GEF=\angle D\\\angle EGF=\angle DCF\\EG = CD\end{cases}$
所以$\triangle EGF\cong\triangle DCF(AAS)$。
- 由全等三角形的性质可得$EF = FD$，即点$F$为$ED$的中点。
任务三:$BC = 2\sqrt{5}$