《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册华师大版》

如图，已知 $ D $、$ E $ 是 $ \triangle ABC $ 的边 $ AB $、$ AC $ 上的点，且 $ \angle ADE = \angle C $。求证：$ AD \cdot AB = AE \cdot AC $。

答案： 证明：
由题意，$\angle ADE = \angle C$，
$\angle A$ 是$\triangle ADE$ 和 $\triangle ACB$的公共角，
根据三角形相似的判定定理：两角对应相等的两个三角形相似。
所以$\triangle ADE \sim \triangle ACB$，
根据相似三角形的性质，对应边成比例，有：
$\frac{AD}{AC} = \frac{AE}{AB}$，
交叉相乘得：
$AD \cdot AB = AE \cdot AC$。

1. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，点 $ D $、$ E $ 分别在 $ AB $、$ AC $ 上，$ DE // BC $。若 $ AD = 4 $，$ DB = 2 $，则 $ \dfrac{DE}{BC} $ 的值为____。

答案： 1. $\frac{2}{3}$

2. 在 $ \triangle ABC $ 中，$ AB = 6 $，$ AC = 5 $，点 $ D $ 在边 $ AB $ 上，且 $ AD = 2 $，点 $ E $ 在边 $ AC $ 上，当 $ AE = $____时，以 $ A $、$ D $、$ E $ 为顶点的三角形与 $ \triangle ABC $ 相似。

答案： 2. $\frac{12}{5}$或$\frac{5}{3}$

3. [2024 秋·顺德区校级期中] 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ \angle ACB = 90^{\circ} $，$ BC = 16\ cm $，$ AC = 12\ cm $，点 $ P $ 从点 $ B $ 出发，以 $ 2\ cm/s $ 的速度向点 $ C $ 移动，同时点 $ Q $ 从点 $ C $ 出发，以 $ 1\ cm/s $ 的速度向点 $ A $ 移动，设运动时间为 $ t\ s $，当 $ t = $____$s $ 时，$ \triangle CPQ $ 与 $ \triangle ABC $ 相似。

答案： 3. $\frac{24}{5}$或$\frac{64}{11}$

4. 如图，在锐角 $ \triangle ABC $ 中，点 $ D $、$ E $ 分别在边 $ AC $、$ AB $ 上，$ AG \perp BC $ 于点 $ G $，$ AF \perp DE $ 于点 $ F $，$ \angle EAF = \angle GAC $。求证：$ \triangle ADE \sim \triangle ABC $。

答案： 证明：
∵AG⊥BC，AF⊥DE，
∴∠AFE=∠AGC=90°（垂直定义）。
∵∠EAF=∠GAC（已知），
∴在Rt△AFE和Rt△AGC中，∠AEF=∠ACG（等角的余角相等）。
∵∠AEF=∠AED，∠ACG=∠ACB（公共角定义），
∴∠AED=∠ACB。
在△ADE和△ABC中，
∵∠DAE=∠BAC（公共角），∠AED=∠ACB（已证），
∴△ADE∽△ABC（两角对应相等的两个三角形相似）。