《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册华师大版》

用配方法解一元二次方程
配方法：通过配成________的形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法.
目的：降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程求解.
步骤：(1)移项，把常数项移到方程右边，左边只含二次项和一次项；
(2)二次项系数化为1；
(3)配方，方程两边分别加上一次项系数______的平方，然后将方程整理成$(x + n)^2 = p$的形式；
(4)降次，若$p \geq 0$，则根据直接开平方法求其解；若$p ＜ 0$，则原方程______实数根.

答案： 配方法：通过配成完全平方式的形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法.目的：降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程求解.步骤：
(1)移项，把常数项移到方程右边，左边只含二次项和一次项；
(2)二次项系数化为1；
(3)配方，方程两边分别加上一次项系数一半的平方，然后将方程整理成$(x + n)^2 = p$的形式；
(4)降次，若$p \geq 0$，则根据直接开平方法求其解；若$p ＜ 0$，则原方程无实数根.

例1 用配方法解下列一元二次方程：
(1)$x^2 - 2x - 3 = 0$；
(2)$x^2 - 5x + 6 = 0$.

答案： 【例1】
(1)x₁=3,x₂=-1.
(2)x₁=2,x₂=3.

例2 用配方法解下列一元二次方程：
(1)$4x^2 - 4x - 1 = 0$；
(2)$7x^2 - 28x + 7 = 0$；
(3)$2x^2 - \sqrt{2}x - 30 = 0$.

答案： 【例$2】(1)x₁=\frac{1 + \sqrt{2}}{2},x₂=\frac{1 - \sqrt{2}}{2}. (2)x₁=2 + \sqrt{3},x₂=2 - \sqrt{3}. (3)x₁=3\sqrt{2},x₂=-\frac{5\sqrt{2}}{2}.$

1. [2024春·宜宾期中]用配方法解一元二次方程$x^2 - 6x - 3 = 0$，下列变形正确的是（ ）

A.$(x - 6)^2 = 39$
B.$(x - 3)^2 = 3$
C.$(x - 3)^2 = 6$
D.$(x - 3)^2 = 12$

答案： 1. D

2. [2024春·眉山期中]用配方法解一元二次方程$2x^2 - x - 1 = 0$时，下列变形正确的是（ ）

A.$(x - \frac{1}{4})^2 = \frac{9}{16}$
B.$(x - \frac{1}{2})^2 = \frac{3}{4}$
C.$(x - \frac{1}{4})^2 = \frac{17}{16}$
D.$(x - \frac{1}{4})^2 = \frac{3}{4}$

答案： 2. A

3. 将下列各式配方：
(1)$x^2 - 4x + $______$ = (x - $______$)^2$；
(2)$x^2 + 12x + $______$ = (x + $______$)^2$；
(3)$x^2 - \frac{3}{2}x + $______$ = (x - $______$)^2$；
(4)$x^2 + 2\sqrt{2}x + $______$ = (x + $______$)^2$.

答案： $3. (1)4 2 (2)36 6 (3)\frac{9}{16} \frac{3}{4} (4)2 \sqrt{2}$

4. 下列用配方法解方程$\frac{1}{2}x^2 - x - 2 = 0$的四个步骤中，出现错误的是______.（填序号）

$\frac{1}{2}x^2 - x - 2 = 0 \xrightarrow{①} x^2 - 2x = 4 \xrightarrow{②} x^2 - 2x + 1 = 5 \xrightarrow{③} (x - 1)^2 = 5 \xrightarrow{④} x = \sqrt{5} + 1$

答案： 4. ④