《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册华师大版》

5. 有一块长为 am，宽为 bm 的矩形场地，计划在该场地上修筑宽为 xm 的两条互相垂直的道路，余下的四块矩形场地建成草坪。
（1）已知 a = 26、b = 15，并且四块草坪的面积和为 312m²，请求出道路的宽；
（2）已知 a : b = 2 : 1，x = 2，并且四块草坪的面积和为 312m²，请求出原来矩形场地的长和宽；
（3）已知 a = 28、b = 14，要在场地上修筑宽为 2m 的纵横小路，其中 m 条水平方向的小路，n 条竖直方向的小路（m、n 为常数），使草坪的总面积为 120m²，求 m 和 n 的值。

答案： 5.
(1)每条道路的宽为2m.
(2)原来矩形场地的长为28m、宽为14m.
(3)$m = 4,n = 4;m = 2,n = 8;m = 1,n = 9$.

6. 阅读材料，并解决问题。
【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以 x² + 2x - 35 = 0 为例，方法如下：
首先将方程 x² + 2x - 35 = 0 变形为 x(x + 2) = 35，然后画四个长为 x + 2，宽为 x 的矩形，按如图 1 所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图 1 中大正方形的面积可表示为(x + x + 2)²，还可表示为四个矩形与一个边长为 2 的小正方形面积之和，即 4x(x + 2) + 2² = 4×35 + 4。因此，可得新方程(x + x + 2)² = 144。因为 x 表示边长，所以 2x + 2 = 12，即 x = 5。遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根。
【类比迁移】小颖根据以上解法求解方程 2x² + 3x - 2 = 0，请将其解答过程补充完整。
第一步：将原方程变形为 x² + $\frac{3}{2}$x - 1 = 0，即 x(________) = 1；
第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；（画出示意图，标明各边长）
第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：________________________，解得原方程的一个根为________。
【拓展应用】一般地，对于形如 x² + ax = b 的一元二次方程可以构造图 2 来解。已知图 2 是由四个面积为 3 的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为 4，那么此方程的系数 a = ______，b = ______，求得方程的一个正根为________。

答案： 6. 【类比迁移】$x + \frac{3}{2} \left(x + x + \frac{3}{2}\right)^2 = 4 × 1 + \left(\frac{3}{2}\right)^2$ $x = \frac{1}{2} \pm 2 3 1$或$3$ 作图略