《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册华师大版》

1. 直角三角形的性质
锐角关系：直角三角形的两个锐角____。
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于________。
2. 直角三角形斜边上的中线
性 质：直角三角形斜边上的中线等于________。
3. 含 $30^{\circ}$ 角的直角三角形的性质
性 质：在直角三角形中，$30^{\circ}$ 角所对的直角边等于斜边的一半。

答案： 1. 互余 斜边的平方 2. 斜边的一半

例 1 [2024·江都区期末]如图，在锐角三角形 $ABC$ 中，$CD$、$BE$ 分别是边 $AB$、$AC$ 上的高，点 $M$、$N$ 分别是线段 $DE$、$BC$ 的中点。
(1) 求证：$MN \perp DE$；
(2) 连结 $DN$、$EN$，猜想 $\angle A$ 与 $\angle DNE$ 之间的关系，并说明理由。

答案： 1. （1）证明：
连接$ND$、$NE$。
因为$CD$、$BE$分别是边$AB$、$AC$上的高，$N$是$BC$的中点。
根据直角三角形斜边中线定理：在直角三角形中，斜边中线等于斜边的一半。
在$Rt\triangle BEC$中，$NE = \frac{1}{2}BC$（因为$N$是$BC$中点，直角三角形$BEC$中，$NE$为斜边$BC$中线）；在$Rt\triangle BDC$中，$ND=\frac{1}{2}BC$（因为$N$是$BC$中点，直角三角形$BDC$中，$ND$为斜边$BC$中线）。
所以$ND = NE$。
又因为$M$是$DE$的中点，根据等腰三角形三线合一的性质（如果一个三角形是等腰三角形，那么底边上的高、底边上的中线、顶角平分线三线合一）。
对于等腰$\triangle NDE$，$NM$是$DE$边上的中线，所以$MN\perp DE$。
2. （2）猜想：$\angle DNE = 180^{\circ}-2\angle A$。
理由：
因为$ND = NE=\frac{1}{2}BC$，$N$是$BC$中点，$CD\perp AB$，$BE\perp AC$。
$\angle NBD=\angle NDB$，$\angle NCE=\angle NEC$。
$\angle DNB = 180^{\circ}-2\angle ABC$，$\angle ENC = 180^{\circ}-2\angle ACB$。
所以$\angle DNE=180^{\circ}-\angle DNB-\angle ENC$。
又因为$\angle ABC+\angle ACB = 180^{\circ}-\angle A$。
$\angle DNB+\angle ENC=180^{\circ}-2\angle ABC + 180^{\circ}-2\angle ACB$。
$=360^{\circ}-2(\angle ABC+\angle ACB)$。
把$\angle ABC+\angle ACB = 180^{\circ}-\angle A$代入上式得：$\angle DNB+\angle ENC=360^{\circ}-2(180^{\circ}-\angle A)=2\angle A$。
所以$\angle DNE = 180^{\circ}-(\angle DNB+\angle ENC)=180^{\circ}-2\angle A$。
综上，（1）已证$MN\perp DE$；（2）$\angle DNE = 180^{\circ}-2\angle A$。

例 2 在直角三角形中，如果一个锐角等于 $30^{\circ}$，那么它所对的直角边等于斜边的一半。试作出图形，写出已知、求证，并给出证明。

答案： 已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°。
求证：BC=1/2AB。
证明：
1. 延长BC至点D，使CD=BC，连接AD。
2.
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=90°。
3. 在△ABC和△ADC中，AC=AC，∠ACB=∠ACD，BC=DC，
∴△ABC≌△ADC（SAS）。
4.
∴AB=AD，∠BAC=∠DAC=30°，
∴∠BAD=60°。
5.
∴△ABD是等边三角形，
∴AB=BD。
6.
∵BD=BC+CD=2BC，
∴AB=2BC，即BC=1/2AB。

例 3 如图，在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$CD \perp AB$，垂足为点 $D$，$\angle A = 30^{\circ}$。求证：$BD = \frac{1}{4}AB$。

答案： 在 $Rt \triangle ABC$ 中， $\angle ACB = 90°$。
因为 $\angle A = 30°$，
所以$\angle B = 60°$，
$AB = 2BC$。
因为 $CD \perp AB$，
所以 $\angle CDB = 90°$。
$\angle BCD = 90° - \angle B = 30°$，
$BC = 2BD$。
$AB = 2BC = 2 \cdot 2BD = 4BD$。
即 $BD = \frac{1}{4} AB$。