《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册华师大版》

4. [2023·赤峰]如图，在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AB = 10$，$BC = 6$，点 $F$ 是 $AB$ 的中点，连结 $CF$，把线段 $CF$ 沿射线 $BC$ 的方向平移到 $DE$，点 $D$ 在 $AC$ 上，则线段 $CF$ 在平移过程中扫过的区域是四边形 $CFDE$，则四边形 $CFDE$ 的周长和面积分别是（ ）

A.$16$、$6$
B.$18$、$18$
C.$16$、$12$
D.$12$、$16$

答案： 4.C

5. 如图，$\angle AOP = \angle BOP = 15^{\circ}$，$PC // OA$，$PD \perp OA$ 于点 $D$。若 $PC = 5$，则 $PD =$____。

答案： $5.\frac{5}{2}$

6. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$\angle ABC = 90^{\circ}$，$AC = AD$，点 $M$、$N$ 分别为 $AC$、$CD$ 的中点，连结 $BM$、$MN$、$BN$。
(1) 求证：$BM = MN$；
(2) 若 $\angle BAD = 60^{\circ}$，$AC$ 平分 $\angle BAD$，$AC = 2$，求 $BN$ 的长。

答案： 6.
(1)略$ (2)BN=\sqrt{2}$

7. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，点 $D$、$E$、$F$ 分别是边 $AB$、$BC$、$CA$ 的中点，$AH$ 是边 $BC$ 上的高。求证：
(1) 四边形 $ADEF$ 是平行四边形；
(2) $\angle DHF = \angle DEF$。

答案：
(1)
∵E、F分别是BC、AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF//AB，EF=1/2AB。
∵D是AB中点，
∴AD=1/2AB，
∴EF=AD。又EF//AB，
∴EF//AD。
∴四边形ADEF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
(2)
∵AH⊥BC，
∴△AHB、△AHC为Rt△。在Rt△AHB中，D是AB中点，
∴DH=1/2AB=AD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴∠DHB=∠B。同理，在Rt△AHC中，F是AC中点，
∴FH=1/2AC=AF，
∴∠FHC=∠C。
∵∠B+∠C=180°-∠BAC（三角形内角和定理），且∠DHB+∠DHF+∠FHC=180°（平角定义），
∴∠DHF=180°-∠DHB-∠FHC=180°-∠B-∠C=∠BAC。
∵四边形ADEF是平行四边形，
∴∠DEF=∠BAC（平行四边形对角相等）。
∴∠DHF=∠DEF。

8. （推理能力）如图，在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle ABD = 2\angle EBC$，$AD // BC$。求证：$DE = 2AB$。

答案： 证明：设∠EBC=α，则∠ABD=2α。
∵AD//BC，
∴∠ADB=∠DBC（两直线平行，内错角相等）。
设∠EBD=θ，则∠DBC=α+θ，故∠ADB=α+θ。
在△ABD中，∠BAD=180°-∠ABD-∠ADB=180°-2α-(α+θ)=180°-3α-θ。
∵∠C=90°，AD//BC，
∴∠CAD=∠C=90°（两直线平行，内错角相等），即∠BAD+∠BAC=90°。
在Rt△ABC中，∠BAC=90°-∠ABC=90°-(∠ABE+α)，而∠ABE=∠ABD-∠EBD=2α-θ，故∠ABC=2α-θ+α=3α-θ，
∴∠BAC=90°-(3α-θ)。
由∠BAD+∠BAC=90°，得(180°-3α-θ)+(90°-3α+θ)=90°，解得α=30°。
∴∠ABD=60°，∠DBC=α+θ=60°（θ=α=30°），∠ADB=60°，故△ABD为等边三角形，AB=AD。
∵∠CAD=90°，
∴△ADE为Rt△，取DE中点F，连接AF，则AF=DE/2（直角三角形斜边中线等于斜边一半）。
∵AF=DF，∠ADF=60°，
∴△ADF为等边三角形，AF=AD=AB。
∴DE=2AF=2AB。
结论：DE=2AB。