《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册华师大版》

9. [2024·内江东兴区开学]如图，在正方形$ABCD$中，$F$是边$BC$上一点，连结$AF$，以$AF$为对角线作正方形$AEFG$，边$FG$与正方形$ABCD$的对角线$AC$相交于点$H$，连结$DG$.
(1)若$\angle BAF = 18^{\circ}$，则$\angle DAG=$______$^{\circ}$；
(2)求证：$\triangle AFC\backsim\triangle AGD$；
(3)若$\frac{BF}{FC} = \frac{1}{2}$，请求出$\frac{FC}{FH}$的值.

答案： （1）
因为四边形$ABCD$和四边形$AEFG$都是正方形，所以$\angle BAC=\angle GAF = 45^{\circ}$。
已知$\angle BAF = 18^{\circ}$，则$\angle FAC=\angle BAC-\angle BAF=45 - 18=27^{\circ}$。
又因为$\angle DAG+\angle GAC=\angle FAC+\angle GAC = 45^{\circ}$，所以$\angle DAG=\angle FAC = 27^{\circ}$。
（2）
证明：
因为四边形$ABCD$和四边形$AEFG$都是正方形，所以$\frac{AD}{AC}=\frac{AG}{AF}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\angle BAC=\angle GAF = 45^{\circ}$。
那么$\angle BAC-\angle GAC=\angle GAF-\angle GAC$，即$\angle FAC=\angle GAD$。
根据相似三角形的判定定理（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），在$\triangle AFC$和$\triangle AGD$中，$\frac{AD}{AC}=\frac{AG}{AF}$，$\angle FAC=\angle GAD$，所以$\triangle AFC\backsim\triangle AGD$。

(3)$\frac{FC}{FH} = \frac{3\sqrt{5}}{5}$

10. 在平面直角坐标系中，$\triangle ABC$的三个顶点分别为$A(1,2)$、$B(2,1)$、$C(3,2)$，现以点$O(0,0)$为位似中心，在第一象限内作与$\triangle ABC$的相似比为 2 的位似图形$\triangle A'B'C'$，则顶点$C'$的坐标是________.

答案： 10. $(6,4)$

11. [2024 秋·长子县期中]如图，在$\triangle ABC$中，$\angle BAC = 90^{\circ}$，$AB = 3\mathrm{cm}$，$BC = 5\mathrm{cm}$. 点$P$从$A$点出发，沿$AC$方向匀速运动，速度为$1\mathrm{cm/s}$；同时，点$Q$从点$C$出发，沿$CB$方向匀速运动，速度为$1\mathrm{cm/s}$. 设运动时间为$t\mathrm{s}(0 ＜ t ＜ 4)$，当$t$为何值时，$\triangle ABC$与$\triangle PQC$相似？

答案： 11. 当$t = \frac{20}{9}$或$\frac{16}{9}$时,$\triangle ABC$与$\triangle PQC$相似.

12. [2024 秋·阳泉期中]如图 1，在矩形$ABCD$中，$AB = 6$，$AD = 4$，$E$是对角线$BD$上任意一点，$EG// CD$交$BC$于点$G$，$EF// AD$交$AB$于点$F$.
(1)当点$E$为$BD$的中点时，$\frac{DE}{CG}=$______.
(2)如图 2，将四边形$BFEG$绕点$B$逆时针旋转，连结$CG$、$DE$. 在旋转过程中，$\frac{DE}{CG}$的值是否发生变化？若不变化，求出$\frac{DE}{CG}$的值；若发生变化，请说明理由.
(3)如图 3，将四边形$BFEG$绕点$B$逆时针旋转，连结$AF$、$DE$. 请直接写出旋转过程中$\frac{DE}{AF}$的值.

答案： 12.
(1)$\frac{\sqrt{13}}{2}$
(2)没有变化.$\frac{DE}{CG} = \frac{\sqrt{13}}{2}$.
(3)$\frac{DE}{AF} = \frac{\sqrt{13}}{3}$