《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册华师大版》

一元二次方程根的判别式
根的判别式：式子 $ b^{2} - 4ac $ 叫做一元二次方程 $ ax^{2} + bx + c = 0 (a \neq 0) $ 根的判别式，通常用符号“$ \Delta $”表示，即 $ \Delta = b^{2} - 4ac $。
判 别：当 $ \Delta ＞ 0 $ 时，一元二次方程 $ ax^{2} + bx + c = 0 (a \neq 0) $ 有两个不相等的实数根；
当 $ \Delta = 0 $ 时，一元二次方程 $ ax^{2} + bx + c = 0 (a \neq 0) $ 有两个相等的实数根；
当 $ \Delta ＜ 0 $ 时，一元二次方程 $ ax^{2} + bx + c = 0 (a \neq 0) $ 无实数根。
注 意：一元二次方程最多有两个实数根。

答案： 您提供的内容是关于一元二次方程根的判别式的知识点介绍，并非具体的题目。请您提供具体的题目内容，以便我按照要求进行解答。

例1 利用判别式判断下列方程根的情况：
(1) $ x^{2} - 5x = -7 $；
(2) $ x^{2} + 5 = 2\sqrt{5}x $；
(3) $ (x - 1)(2x + 3) = x $。

答案：
(1)此方程没有实数根.
(2)此方程有两个相等的实数根.
(3)此方程有两个不相等的实数根.

例2 已知关于 $ x $ 的方程 $ (a - 2)x^{2} - 2(a - 1)x + (a + 1) = 0 $，当 $ a $ 为何值时，
(1) 方程只有一个实数根？（不包括等根情况）
(2) 方程有两个实数根？
(3) 方程无实数根？

答案：
(1)当a=2时，方程只有一个实数根（不包括等根情况).
(2)当a≤3且a≠2时，方程有两个实数根.
(3)当a＞3时，方程无实数根.

1. [2023·滨州]一元二次方程 $ x^{2} + 3x - 2 = 0 $ 根的情况为（ ）

A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.不能判定

答案： 1.A

2. 一元二次方程 $ x^{2} + 3x - 1 = 0 $ 根的判别式的值为______。

答案： 2.13

3. 关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2} + 2x - m = 0 $，当 $ m $ _________ 时，方程有两个相等的实根；当 $ m $ _________ 时，方程有两个不相等的实根；当 $ m $ _________ 时，方程没有实数根。

答案： 3.= -1 ＞ -1 ＜ -1

1. [2023·泸州]关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2} + 2ax + a^{2} - 1 = 0 $ 的根的情况是（ ）

A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.实数根的个数与实数 $ a $ 的取值有关

答案： 1.C