《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册华师大版》

9. [2023·南充]已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-(2m - 1)x - 3m^{2}+m = 0$.
（1）求证：无论 $m$ 为何值，方程总有实数根；
（2）若 $x_{1}$、$x_{2}$ 是方程的两个实数根，且 $\frac{x_{2}}{x_{1}}+\frac{x_{1}}{x_{2}}=-\frac{5}{2}$，求 $m$ 的值.

答案： （1）证明：$\Delta =[-(2m - 1)]^{2}-4×1×(-3m^{2}+m)$
$=4m^{2}-4m + 1 + 12m^{2}-4m$
$=16m^{2}-8m + 1$
$=(4m - 1)^{2}$
$\because (4m - 1)^{2}\geq0$，即$\Delta\geq0$
$\therefore$无论$m$为何值，方程总有实数根；
（2）解：$\because x_{1}$、$x_{2}$是方程的两个实数根
$\therefore x_{1}+x_{2}=2m - 1$，$x_{1}x_{2}=-3m^{2}+m$
$\because \frac{x_{2}}{x_{1}}+\frac{x_{1}}{x_{2}}=-\frac{5}{2}$
$\therefore \frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{x_{1}x_{2}}=-\frac{5}{2}$
$\frac{(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}}{x_{1}x_{2}}=-\frac{5}{2}$
$\frac{(2m - 1)^{2}-2(-3m^{2}+m)}{-3m^{2}+m}=-\frac{5}{2}$
$\frac{4m^{2}-4m + 1 + 6m^{2}-2m}{-3m^{2}+m}=-\frac{5}{2}$
$\frac{10m^{2}-6m + 1}{-3m^{2}+m}=-\frac{5}{2}$
$2(10m^{2}-6m + 1)=5(3m^{2}-m)$
$20m^{2}-12m + 2=15m^{2}-5m$
$5m^{2}-7m + 2=0$
$(5m - 2)(m - 1)=0$
解得$m_{1}=1$，$m_{2}=\frac{2}{5}$
经检验，$m=1$和$m=\frac{2}{5}$均为原方程的解
$\therefore m$的值为$1$或$\frac{2}{5}$

10.（创新意识）[2023·通辽]阅读材料.
材料 1 一元二次方程 $ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$ 的两个实数根 $x_{1}$、$x_{2}$ 和系数 $a$、$b$、$c$，有如下关系：$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$，$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$.
材料 2 已知一元二次方程 $x^{2}-x - 1 = 0$ 的两个实数根分别为 $m$、$n$，求 $m^{2}n + mn^{2}$ 的值.
解：$\because m$、$n$ 是一元二次方程 $x^{2}-x - 1 = 0$ 的两个实数根，
$\therefore m + n = 1$，$mn = -1$.
则 $m^{2}n + mn^{2}=mn(m + n)=-1×1=-1$.
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）应用：若一元二次方程 $2x^{2}+3x - 1 = 0$ 的两个实数根为 $x_{1}$、$x_{2}$，则 $x_{1}+x_{2}=$____，$x_{1}x_{2}=$____；
（2）类比：已知一元二次方程 $2x^{2}+3x - 1 = 0$ 的两个实数根为 $m$、$n$，求 $m^{2}+n^{2}$ 的值；
（3）提升：已知实数 $s$、$t$ 满足 $2s^{2}+3s - 1 = 0$，$2t^{2}+3t - 1 = 0$ 且 $s\neq t$，求 $\frac{1}{s}-\frac{1}{t}$ 的值.

答案： 10.（1）$- \frac{3}{2}$　$- \frac{1}{2}$　（2）$m^{2} + n^{2} = \frac{13}{4}$
（3）$\frac{1}{s} - \frac{1}{t} = \pm \sqrt{17}$