《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册华师大版》

12. 【问题背景】
(1) 如图 1，已知 $ \triangle ABC \sim \triangle ADE $，求证：$ \triangle ABD \sim \triangle ACE $。
【尝试应用】
(2) 如图 2，在 $ \triangle ABC $ 和 $ \triangle ADE $ 中，$ \angle BAC = \angle DAE = 90^{\circ} $，$ \angle ABC = \angle ADE = 30^{\circ} $，$ AC $ 与 $ DE $ 相交于点 $ F $，点 $ D $ 在边 $ BC $ 上，$ \dfrac{AD}{BD} = \sqrt{3} $，求 $ \dfrac{DF}{CF} $ 的值。
【拓展创新】
(3) 如图 3，$ D $ 是 $ \triangle ABC $ 内一点，$ \angle BAD = \angle CBD = 30^{\circ} $，$ \angle BDC = 90^{\circ} $，$ AB = 4 $，$ AC = 2\sqrt{3} $，求 $ AD $ 的长。

答案： $(1)$ 证明$\triangle ABD\sim\triangle ACE$
解：
因为$\triangle ABC\sim\triangle ADE$，所以$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，$\angle BAC=\angle DAE$。
则$\angle BAC - \angle DAC=\angle DAE - \angle DAC$，即$\angle BAD=\angle CAE$。
在$\triangle ABD$和$\triangle ACE$中，$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，$\angle BAD=\angle CAE$。
根据相似三角形判定定理（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），可得$\triangle ABD\sim\triangle ACE$。
(2) 3
(3) AD=$\sqrt{5}$