《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册华师大版》

6. [2024·南充]已知$x_{1}$、$x_{2}$是关于$x$的方程$x^{2}-2kx + k^{2}-k + 1 = 0$的两个不相等的实数根.
(1)求$k$的取值范围；
(2)若$k＜5$，且$k$、$x_{1}$、$x_{2}$都是整数，求$k$的值.

答案： 6.
(1)k ＞ 1
(2)k的值为2.

7. [2024秋·德阳月考]已知关于$x$的一元二次方程$3x^{2}+(m - 9)x - 3m = 0$.
(1)求证：无论$m$取何实数，原方程总有两个实数根；
(2)若原方程的两个实数根一个小于$4$，另一个大于$5$，求$m$的取值范围.

答案： $(1)$ 证明原方程总有两个实数根
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$。
在方程$3x^{2}+(m - 9)x - 3m = 0$中，$a = 3$，$b = m - 9$，$c = - 3m$。
则$\Delta=(m - 9)^{2}-4×3×(-3m)$
$=m^{2}-18m + 81+36m$
$=m^{2}+18m + 81$
$=(m + 9)^{2}$。
因为$(m + 9)^{2}\geq0$，即$\Delta\geq0$。
所以无论$m$取何实数，原方程总有两个实数根。
$(2)$ 求$m$的取值范围
解：先求解方程$3x^{2}+(m - 9)x - 3m = 0$，
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，其求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$。
由$(1)$知$\Delta=(m + 9)^{2}$，则$x=\frac{-(m - 9)\pm\sqrt{(m + 9)^{2}}}{2×3}=\frac{-(m - 9)\pm(m + 9)}{6}$。
$x_1=\frac{-(m - 9)+(m + 9)}{6}=\frac{-m + 9+m + 9}{6}=3$，$x_2=\frac{-(m - 9)-(m + 9)}{6}=\frac{-m + 9 - m - 9}{6}=-\frac{m}{3}$。
因为原方程的两个实数根一个小于$4$，另一个大于$5$，而$x_1 = 3\lt4$，所以$x_2=-\frac{m}{3}\gt5$。
解不等式$-\frac{m}{3}\gt5$，两边同时乘以$-3$，不等号方向改变，得$m\lt - 15$。
所以$m$的取值范围是$m\lt - 15$。

8. [2023·宜宾]若关于$x$的方程$x^{2}-2(m + 1)x + m + 4 = 0$两根的倒数和为$1$，则$m$的值为____.

答案： 8. 2

9. [2023·内江]已知$a$、$b$是方程$x^{2}+3x - 4 = 0$的两根，则$a^{2}+4a + b - 3=$____.

答案： 9. -2

10. [2024·内江]已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-px + 1 = 0$（$p$为常数）有两个不相等的实数根$x_{1}$、$x_{2}$.
(1)填空：$x_{1}+x_{2}=$____，$x_{1}x_{2}=$____；
(2)求$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}$，$x_{1}+\frac{1}{x_{1}}$；
(3)已知$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=2p + 1$，求$p$的值.

答案： 10.
(1)p 1
$(2)\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = p,x_1 + \frac{1}{x_1} = p.$
(3)p = 3