《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册华师大版》

10. （推理能力）[2024·内江市威远县期中]
【基础巩固】
（1）如图 1，在$\triangle ABC$中，$D$为$BC$上一点，连结$AD$，$E$为$AD$上一点，连结$CE$。若$\angle BAD = \angle ACE$，$CD = CE$，求证：$\triangle ABD \backsim \triangle CAE$。
【尝试应用】
（2）如图 2，在平行四边形$ABCD$中，对角线$AC$、$BD$交于点$O$，$E$为$OC$上一点，连结$BE$，$\angle CBE = \angle DCO$，$BE = DO$。若$BD = 12$，$OE = 5$，求$AC$的长。
【拓展提升】
（3）如图 3，在菱形$ABCD$中，对角线$AC$、$BD$交于点$O$，$E$为$BC$的中点，$F$为$DC$上一点，连结$AE$、$OE$、$AF$，$\angle AEO = \angle CAF$。若$\frac{DF}{FC} = \frac{5}{3}$，$AC = 6$，求菱形$ABCD$的边长。

答案： $(1)$ 证明$\triangle ABD\backsim\triangle CAE$
解：
已知$CD = CE$，根据等腰三角形的性质，可得$\angle CDE=\angle CED$。
因为$\angle ADB+\angle CDE = 180^{\circ}$，$\angle AEC+\angle CED = 180^{\circ}$，所以$\angle ADB=\angle AEC$。
又因为$\angle BAD=\angle ACE$，根据两角分别相等的两个三角形相似，所以$\triangle ABD\backsim\triangle CAE$。

(2)AC=18

(3)菱形ABCD的边长为$2\sqrt{15}.$