《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册华师大版》

1. 二次根式的除法
法 则：两个算术平方根的商，等于__________.
公 式：$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=$__________.
注 意：(1)法则成立的条件：__________；
(2)二次根式相除，结果要化简.
2. 商的算术平方根
法 则：商的算术平方根等于__________.
公 式：$\sqrt{\frac{a}{b}}=$__________.
注 意：(1)法则成立的条件：__________；
(2)商的算术平方根，结果要化简.
3. 最简二次根式
定 义：被开方数中__________，并且被开方数中所有因数(或因式)的幂的指数__________，像这样的二次根式称为最简二次根式.

答案： 1. $\sqrt{\frac{a}{b}}$ $(a \geq 0, b ＞ 0)$ $a \geq 0, b ＞ 0$
2. $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} (a \geq 0, b ＞ 0)$ $a \geq 0$， $b ＞ 0$
3. 不含分母 都小于2

例 1 计算：
(1)$\sqrt{40}÷\sqrt{5}$； (2)$\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{2}}$；
(3)$\sqrt{\frac{4}{5}}÷\sqrt{\frac{2}{15}}$； (4)$\frac{2\sqrt{a^{3}b}}{\sqrt{ab}}(a\gt0)$.

答案：
(1)$2\sqrt{2}$
(2)4
(3)$\sqrt{6}$
(4)$2a$

例 2 计算：
(1)$\sqrt{\frac{9}{64}}$； (2)$\sqrt{\frac{-25}{-9}}$；
(3)$\sqrt{2\frac{23}{49}}$； (4)$\sqrt{\frac{27a^{3}}{4b^{2}}}$.
【点悟】利用商的算术平方根的运算性质可以化简二次根式，使其被开方数不含分母.
(1)商的算术平方根的性质是二次根式除法的逆运算；
(2)运用公式要注意各字母的取值范围.

答案：
(1)$\frac{3}{8}$
(2)$\frac{5}{3}$
(3)$\frac{11}{7}$
(4)$\frac{3a\sqrt{3a}}{2|b|}$

例 3 下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？并对不是最简二次根式的进行化简.
(1)$\sqrt{45}$； (2)$\sqrt{\frac{1}{3}}$； (3)$\frac{\sqrt{5}}{2}$；
(4)$\sqrt{0.5}$； (5)$\sqrt{1\frac{4}{5}}$.

答案：
(3)是最简二次根式,
(1)
(2)
(4)
(5)不是最简二次根式.化简如下：
(1)$\sqrt{45} = 3\sqrt{5}$
(2)$\sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
(4)$\sqrt{0.5} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
(5)$\sqrt{1\frac{4}{5}} = \sqrt{\frac{9}{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5}$