《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册华师大版》

5. 如图，在菱形$ABCD$中，点$E$、$F$分别在边$AB$、$AD$上，$BE = DF$，$CE$的延长线交$DA$的延长线于点$G$，$CF$的延长线交$BA$的延长线于点$H$.
(1)求证：$\triangle BEC\backsim\triangle BCH$；
(2)如果$BE^{2} = AB\cdot AE$，求证：$AG = DF$.

答案：
(1)证明：
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD，∠B=∠D，AB//CD。
∵BE=DF，
∴△CBE≌△CDF(SAS)，
∴∠BCE=∠DCF。
∵AB//CD，
∴∠BHC=∠DCF(内错角相等)，
∴∠BHC=∠BCE。
在△BEC和△BCH中，
∠EBC=∠HBC(公共角)，∠BCE=∠BHC，
∴△BEC∽△BCH(AA)。
(2)证明：
设AB=AD=a，BE=DF=x，则AE=AB-BE=a-x。
∵AB//CD，
∴△GAE∽△GDC(∠G=∠G，∠GAE=∠GDC)，
∴$\frac{GA}{GD}=\frac{AE}{CD}$。
∵GD=GA+AD=GA+a，AE=a-x，CD=a，
∴$\frac{GA}{GA+a}=\frac{a-x}{a}$，
化简得：$a\cdot GA=(a-x)(GA+a)$，
$a\cdot GA=(a-x)GA+a(a-x)$，
$x\cdot GA=a(a-x)$。
∵BE²=AB·AE，即$x^2=a(a-x)$，
∴$x\cdot GA=x^2$，
∴GA=x=DF，即AG=DF。

6. [2024·重庆 A 卷]如图，在$\triangle ABC$中，延长$AC$至点$D$，使$CD = CA$，过点$D$作$DE// CB$，且$DE = DC$，连结$AE$交$BC$于点$F$. 若$\angle CAB = \angle CFA$，$CF = 1$，则$BF=$_____.

答案： 6. 3

7. [2024·内江月考]如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，点$E$在边$AC$上，过点$E$作$ED\perp AB$，垂足为$D$.
(1)若$AB = 10$，$AC = 8$，$AE = 5$，求$AD$的长；
(2)连结$BE$，若$\triangle CEB\backsim\triangle CBA$，且$CE = 1$，$AE = 3$，求$DE$的长.

答案： 7.
(1)$AD = 4$
(2)$DE = \frac{3\sqrt{5}}{5}$

8. [2024·上海]如图，在矩形$ABCD$中，$E$为边$CD$上一点，且$AE\perp BD$.
(1)求证：$AD^{2} = DE\cdot DC$；
(2)若$F$为线段$AE$延长线上一点，且满足$EF = CF = \frac{1}{2}BD$，求证：$CE = AD$.

答案：
(1)证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=∠DAB=90°，AB=DC。
∵AE⊥BD，设垂足为O，则∠AOD=90°，
∴∠DAO+∠ADO=90°。
∵∠DAB=90°，
∴∠ABD+∠ADO=90°，
∴∠DAO=∠ABD。
在△ADE和△DAB中，
∠ADE=∠DAB=90°，∠DAE=∠ABD，
∴△ADE∽△DAB，
∴AD/DE=AB/AD，即AD²=DE·AB。
∵AB=DC，
∴AD²=DE·DC。
(2)证明：
以A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立坐标系，设A(0,0)，B(b,0)，D(0,a)，C(b,a)，则AD=a，DC=b，BD=√(a²+b²)，CF=EF=√(a²+b²)/2。
由
(1)得AD²=DE·DC，
∴DE=a²/b，E在CD上，坐标为(a²/b,a)。
AE的斜率k=a/(a²/b)=b/a，方程为y=(b/a)x。设F(t,bt/a)(t＞a²/b)，
EF=√[(t-a²/b)²+(bt/a -a)²]=√(a²+b²)/2，化简得(t-a²/b)=a/2，
∴t=a²/b +a/2，F(a²/b +a/2,a +b/2)。
CF=√[(a²/b +a/2 -b)²+(b/2)²]=√(a²+b²)/2，平方整理得(a²/b +a/2 -b)²=a²/4，
解得a²/b =b -a（舍a=b），
∴CE=DC -DE=b -a²/b=a=AD，即CE=AD。