《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册华师大版》

(教材 P97 复习题 T15)
如图,已知$∠ACB=∠CBD=90^{\circ },AC=b,$$CB=a$,当 BD 与 a、b 之间满足怎样的关系式时,$△ACB\backsim △CBD$?

答案： 当$BD=\frac{a^{2}}{b}$时，$\triangle ACB∽\triangle CBD。$

1. 如图,$△ABC$和$△ADE$均为等边三角形,点 D 在边 BC 上,DE 与 AC 交于点 F.
(1)求证:$△ABD\backsim △DCF;$
(2)除了$△ABD\backsim △DCF$外,请写出图中其他所有的相似三角形.

答案： （1）解（证明）：
因为$\triangle ABC$和$\triangle ADE$均为等边三角形，所以$\angle B=\angle C = \angle ADE=60^{\circ}$。
又因为$\angle ADC=\angle B+\angle BAD$（三角形外角定理），即$\angle ADE+\angle FDC=\angle B+\angle BAD$。
把$\angle B = \angle ADE = 60^{\circ}$代入上式，可得$\angle BAD=\angle FDC$。
在$\triangle ABD$和$\triangle DCF$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle B=\angle C\\\angle BAD=\angle FDC\end{array}\right.$。
根据两角分别相等的两个三角形相似，所以$\triangle ABD\backsim\triangle DCF$。

$(2)\triangle AEF∽\triangle DCF，$$\triangle ABD∽\triangle AEF，$$\triangle ABC∽\triangle ADE，$$\triangle ADF∽\triangle ACD。$

2. 如图,在$△ABC$与$△ADE$中,$∠ACB=$$∠AED=90^{\circ }$,连结 BD、CE,$∠EAC=$$∠DAB.$
(1)求证:$△ABC\backsim △ADE;$
(2)求证:$△BAD\backsim △CAE;$
(3)已知$BC=4,AC=3,AE=\frac {3}{2}$,将$△AED$绕点 A 旋转,当点 E 落在线段 CD 上时,求 BD 的长.

答案： （1）证明$\triangle ABC\backsim\triangle ADE$：
已知$\angle EAC = \angle DAB$，则$\angle EAC+\angle CAD=\angle DAB+\angle CAD$，即$\angle BAC=\angle DAE$。
又因为$\angle ACB=\angle AED = 90^{\circ}$。
根据两角分别相等的两个三角形相似，所以$\triangle ABC\backsim\triangle ADE$。
（2）证明$\triangle BAD\backsim\triangle CAE$：
由$\triangle ABC\backsim\triangle ADE$，可得$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，即$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$。
又因为$\angle EAC = \angle DAB$。
根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，所以$\triangle BAD\backsim\triangle CAE$。

$ (3)BD=\frac{5\sqrt{3}}{2}$