《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册华师大版》

1. 相似三角形的性质 1
性 质：相似三角形对应边上的高的比等于______，对应角的平分线之比等于______，对应边上的中线之比等于______，周长的比等于______。
2. 相似三角形的性质 2
性 质：相似三角形面积的比等于______。
数学语言：若$\triangle ABC \backsim \triangle A'B'C'$，则$\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle A'B'C'}} = \frac{AB^{2}}{A'B'^{2}}$。

答案： 1.相似比 相似比 相似比 相似比
2.相似比的平方

例 1 试证明相似三角形对应边上的中线之比等于相似比。（要求：先画出图形，再根据图形写出已知、求证和证明过程）

答案： 1. 画图
画$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$，使$\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'$，相似比为$k$，$AD$是$\triangle ABC$中$BC$边上的中线，$A'D'$是$\triangle A'B'C'$中$B'C'$边上的中线。
2. 已知
在$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$中，$\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'$，相似比为$k$，即$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}=k$，$AD$是$BC$边上的中线，$A'D'$是$B'C'$边上的中线，所以$BD = \frac{1}{2}BC$，$B'D'=\frac{1}{2}B'C'$。
3. 求证
$\frac{AD}{A'D'}=k$。
4. 证明过程
解（证明）：
因为$\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'$，所以$\angle B=\angle B'$，$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}$。
又因为$BD = \frac{1}{2}BC$，$B'D'=\frac{1}{2}B'C'$，所以$\frac{BD}{B'D'}=\frac{\frac{1}{2}BC}{\frac{1}{2}B'C'}=\frac{BC}{B'C'}$。
则$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BD}{B'D'}$。
在$\triangle ABD$和$\triangle A'B'D'$中，
$\left\{\begin{array}{l}\frac{AB}{A'B'}=\frac{BD}{B'D'}\\\angle B=\angle B'\end{array}\right.$
根据三角形相似判定定理（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），可得$\triangle ABD\sim\triangle A'B'D'$。
根据相似三角形的性质（相似三角形对应边成比例），则$\frac{AD}{A'D'}=\frac{AB}{A'B'}$。
因为$\frac{AB}{A'B'}=k$，所以$\frac{AD}{A'D'}=k$。
即相似三角形对应边上的中线之比等于相似比。

例 2 如图，在平行四边形$ABCD$中，$E$是线段$AB$上一点，连结$DE$，交对角线$AC$于点$F$。若$\frac{AE}{EB} = \frac{2}{3}$，则$\frac{S_{\triangle AEF}}{S_{\triangle CDF}} =$______。

答案： 【例$2】\frac{4}{25}$

例 3 [2024 秋·眉山洪雅县期中]在$\triangle ABC$中，$BC = 12$，高$AH = 8$，点$D$在边$AB$上，点$E$、$F$在边$BC$上，点$G$在边$AC$上。
（1）如图 1，当四边形$DEFG$是正方形时，求正方形$DEFG$的边长；
（2）如图 2，当四边形$DEFG$是矩形，且此矩形可分割成两个并排放置的正方形时，求矩形的长和宽。

答案： 【例3】
(1)正方形DEFG的边长为$\frac{24}{5}.$
(2)矩形的长为$\frac{48}{7},$宽为$\frac{24}{7}.$