《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册华师大版》

4. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ (a - 3)x^{2}-4x + 3 = 0 $ 有两个不相等的实数根.
(1)求 $ a $ 的取值范围;
(2)当 $ a $ 取最大整数值时,$ \triangle ABC $ 的三条边长均满足关于 $ x $ 的一元二次方程 $ (a - 3)x^{2}-4x + 3 = 0 $,求 $ \triangle ABC $ 的周长.

答案： $4. (1)a ＜ \frac{13}{3}$且$a \neq 3$
$(2)\triangle ABC$的周长为3,9或7。

5. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-mx - 3 = 0 $.
(1)求证:无论 $ m $ 取何值,该方程总有两个不相等的实数根;
(2)当 $ m = 2 $ 时,求方程的根.

答案： （1）证明：
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$。
在方程$x^{2}-mx - 3 = 0$中，$a = 1$，$b=-m$，$c=-3$。
则$\Delta=(-m)^{2}-4×1×(-3)$。
化简$\Delta=m^{2}+12$。
因为$m^{2}\geqslant0$，所以$m^{2}+12\gt0$，即$\Delta\gt0$。
所以无论$m$取何值，该方程总有两个不相等的实数根。
（2）当$m = 2$时：
原方程为$x^{2}-2x - 3 = 0$。
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$的求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，这里$a = 1$，$b=-2$，$\Delta=(-2)^{2}-4×1×(-3)=4 + 12 = 16$。
则$x=\frac{2\pm\sqrt{16}}{2×1}=\frac{2\pm4}{2}$。
当$x=\frac{2 + 4}{2}$时，$x_{1}=\frac{6}{2}=3$；
当$x=\frac{2-4}{2}$时，$x_{2}=\frac{-2}{2}=-1$。
所以（1）得证；（2）方程的根为$x_{1}=3$，$x_{2}=-1$。

6. [2024 春·山西月考]定义:若一元二次方程 $ ax^{2}+bx + c = 0(a \neq 0) $ 满足 $ b = ac $,则称此方程为“蛟龙”方程.
(1)当 $ b ＜ 0 $ 时,判断此时“蛟龙”方程 $ ax^{2}+bx + c = 0(a \neq 0) $ 根的情况,并说明理由;
(2)若“蛟龙”方程 $ 2x^{2}+mx + n = 0 $ 有两个相等的实数根,请解出此方程.

答案： $(1)$ 判断“蛟龙”方程根的情况
解：对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$。
因为该方程是“蛟龙”方程，所以$b = ac$，则$\Delta=b^{2}-4b$。
对$\Delta=b^{2}-4b$进行变形可得$\Delta=b(b - 4)$。
已知$b\lt0$，那么$b-4\lt0$，两个负数相乘结果为正数，即$\Delta=b(b - 4)\gt0$。
所以，当$b\lt0$时，“蛟龙”方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$有两个不相等的实数根。
$(2)$ 求解“蛟龙”方程$2x^{2}+mx + n = 0$
解：因为方程$2x^{2}+mx + n = 0$是“蛟龙”方程，所以$m = 2n$。
又因为该方程有两个相等的实数根，所以其判别式$\Delta = m^{2}-4×2n=0$。
将$m = 2n$代入$\Delta = m^{2}-4×2n=0$中，得到$(2n)^{2}-8n = 0$，即$4n^{2}-8n = 0$，提取公因式$4n$可得$4n(n - 2)=0$。
则$4n=0$或$n - 2=0$，解得$n = 0$或$n = 2$。
当$n = 0$时，$m = 2×0 = 0$，原方程为$2x^{2}=0$，两边同时除以$2$得$x^{2}=0$，解得$x_{1}=x_{2}=0$。
当$n = 2$时，$m = 2×2 = 4$，原方程为$2x^{2}+4x + 2 = 0$，两边同时除以$2$得$x^{2}+2x + 1 = 0$，根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，这里$a = x$，$b = 1$，则$(x + 1)^{2}=0$，解得$x_{1}=x_{2}=-1$。
综上，方程的解为$x_{1}=x_{2}=0$或$x_{1}=x_{2}=-1$。