《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册华师大版》

1. 解直角三角形的概念
定义：在直角三角形中，由______元素求出______元素的过程，就是解直角三角形.
2. 解直角三角形的基本类型及解法

3. 方向角的概念
方向角：从正北方向或正南方向到目标方向所形成的小于 $90^{\circ}$ 的角叫做方向角.

答案： 1. 已知 未知

例 1 已知在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^{\circ}$.
(1)若 $a = 36$，$\angle B = 30^{\circ}$，求$\angle A$、$b$、$c$；
(2)若 $a = 6\sqrt{2}$，$b = 6\sqrt{6}$，求$\angle A$、$\angle B$、$c$.

答案： $(1)∠A = 60°,b = 12\sqrt{3},c = 24\sqrt{3}.$
$(2)∠A = 30°,∠B = 60°,c = 12\sqrt{2}.$

例 2 如图，一艘轮船从点 $A$ 处以 $30km/h$ 的速度向正东方向航行，在 $A$ 处测得灯塔 $C$ 在北偏东 $60^{\circ}$ 方向上，继续航行 $1h$ 到达 $B$ 处，这时测得灯塔 $C$ 在北偏东 $45^{\circ}$ 方向上. 已知在灯塔 $C$ 的四周 $40km$ 内有暗礁，这艘轮船继续向正东方向航行是否安全？请说明理由.（参考数据：$\sqrt{2}\approx1.414$，$\sqrt{3}\approx1.732$）

答案： 1. 首先，过点$C$作$CD\perp AB$，交$AB$的延长线于点$D$：
已知$AB = 30×1=30(km)$。
设$CD = xkm$。
在$Rt\triangle BCD$中，$\angle CBD = 45^{\circ}$，因为$\tan\angle CBD=\frac{CD}{BD}$，且$\tan45^{\circ}=1$，所以$BD = CD=xkm$。
在$Rt\triangle ACD$中，$\angle CAD = 30^{\circ}$（$A$处北偏东$60^{\circ}$，则$\angle CAD = 90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$），根据$\tan\angle CAD=\frac{CD}{AD}$，$\tan30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$AD=(30 + x)km$，所以$\tan30^{\circ}=\frac{CD}{AD}$，即$\frac{x}{30 + x}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
2. 然后，解方程$\frac{x}{30 + x}=\frac{\sqrt{3}}{3}$：
交叉 - 相乘得：$3x=\sqrt{3}(30 + x)$。
展开括号：$3x = 30\sqrt{3}+\sqrt{3}x$。
移项：$3x-\sqrt{3}x = 30\sqrt{3}$。
提取公因式$x$：$x(3 - \sqrt{3}) = 30\sqrt{3}$。
则$x=\frac{30\sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$。
分母有理化，分子分母同乘$3+\sqrt{3}$：
$x=\frac{30\sqrt{3}(3 + \sqrt{3})}{(3 - \sqrt{3})(3 + \sqrt{3})}$。
根据平方差公式$(a - b)(a + b)=a^{2}-b^{2}$，这里$a = 3$，$b=\sqrt{3}$，则$(3 - \sqrt{3})(3 + \sqrt{3})=9 - 3 = 6$。
$x=\frac{90\sqrt{3}+90}{6}=15\sqrt{3}+15$。
把$\sqrt{3}\approx1.732$代入$x = 15\sqrt{3}+15$：
$x\approx15×1.732 + 15$。
$x\approx25.98+15$。
$x\approx40.98(km)$。
因为$40.98\gt40$，所以这艘轮船继续向正东方向航行是安全的。