《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册华师大版》

1. [2024·深圳]一元二次方程$x^{2}-3x + a = 0$的一个解为$x = 1$，则$a=$____.

答案： 1. 2

2. [2024·南充]已知$m$是方程$x^{2}+4x - 1 = 0$的一个根，则$(m + 5)(m - 1)$的值为____.

答案： 2. -4

3. 一个三角形的两边长分别为$3$和$5$，第三边长是方程$x^{2}-6x + 8 = 0$的根，则这个三角形的周长为____.

答案： 3. 12

4. 解方程：
(1)$x^{2}-4x - 1 = 0$（配方法）；
(2)$2(x - 1)^{2}=16$；
(3)$3x^{2}-5x + 1 = 0$（公式法）；
(4)$x^{2}-1 = 2(x + 1)$.

答案： $4. (1)x_1 = 2 + \sqrt{5},x_2 = 2 - \sqrt{5}.$
$(2)x_1 = 1 + 2\sqrt{2},x_2 = 1 - 2\sqrt{2}.$
$(3)x_1 = \frac{5 + \sqrt{13}}{6},x_2 = \frac{5 - \sqrt{13}}{6}.$
$(4)x_1 = -1,x_2 = 3.$

5. [2024·临汾期中]下面是张老师讲解一元二次方程的解法时在黑板上的板书过程，请认真阅读并完成下列问题.
解方程：$3x^{2}-6x + 1 = 0$.
解：$x^{2}-2x=-\frac{1}{3}$.……第一步
$x^{2}-2x + 1=-\frac{1}{3}+1$.……第二步
$(x - 1)^{2}=\frac{2}{3}$.……第三步
$x - 1=\pm\frac{\sqrt{6}}{3}$.……第四步
解得$x_{1}=1+\frac{\sqrt{6}}{3}$，$x_{2}=1-\frac{\sqrt{6}}{3}$.……第五步
(1)①张老师解方程用的方法是____.
A. 直接开平方法
B. 配方法
C. 公式法
D. 因式分解法
②第二步变形的依据是____.
(2)请你用“公式法”解该方程.
(3)请你用“因式分解法”解方程：$3(x - 2)^{2}=x^{2}-4$.

答案： $(1)$
① 张老师解方程的过程是通过配方将方程转化为完全平方式，所以用的方法是配方法，答案选$\boldsymbol{B}$。
② 第二步变形是在等式两边同时加上$1$，依据是等式的基本性质$1$：等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立。
$(2)$用公式法解方程$3x^{2}-6x + 1 = 0$
解：对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，其求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$。
在方程$3x^{2}-6x + 1 = 0$中，$a = 3$，$b = -6$，$c = 1$。
先计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-6)^{2}-4×3×1 = 36 - 12 = 24$。
将$a$、$b$、$\Delta$的值代入求根公式可得：
$x=\frac{-(-6)\pm\sqrt{24}}{2×3}=\frac{6\pm2\sqrt{6}}{6}=\frac{3\pm\sqrt{6}}{3}$。
所以$x_{1}=1+\frac{\sqrt{6}}{3}$，$x_{2}=1-\frac{\sqrt{6}}{3}$。
$(3)$用因式分解法解方程$3(x - 2)^{2}=x^{2}-4$
解：先将方程右边因式分解，$x^{2}-4=(x + 2)(x - 2)$，
原方程可化为$3(x - 2)^{2}-(x + 2)(x - 2)=0$。
提取公因式$(x - 2)$得：$(x - 2)[3(x - 2)-(x + 2)] = 0$。
即$(x - 2)(3x-6 - x - 2)=0$，进一步化简为$(x - 2)(2x - 8)=0$。
则$x - 2 = 0$或$2x - 8 = 0$。
当$x - 2 = 0$时，解得$x = 2$；
当$2x - 8 = 0$时，$2x=8$，解得$x = 4$。
所以$x_{1}=2$，$x_{2}=4$。
综上，答案依次为：$(1)$①$\boldsymbol{B}$；②等式的基本性质$1$；$(2)$$x_{1}=1+\frac{\sqrt{6}}{3}$，$x_{2}=1-\frac{\sqrt{6}}{3}$；$(3)$$x_{1}=2$，$x_{2}=4$。