《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册华师大版》

10. 如图，在 $ □ ABCD $ 中，$ E $ 为边 $ BC $ 上的一点，$ F $ 为边 $ AB $ 上的一点。若 $ \angle DEF = \angle B $。求证：$ AB \cdot FE = BE \cdot DE $。

答案： 证明：
∵ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴ $AB // CD$，$\angle B = \angle ADC$，$\angle A = \angle C$。
∵ $\angle B + \angle C = 180°$（平行四边形邻角互补），
且 $\angle DEF = \angle B$，
∴ $\angle DEF + \angle C = 180°$。
在四边形 $CDEF$ 中，$\angle DEF + \angle C + \angle EDC + \angle EFC = 360°$，
∴ $\angle EDC + \angle EFC = 180°$。
又 $\angle EFB + \angle EFC = 180°$（平角定义），
∴ $\angle EFB = \angle EDC$。
∵ $AB // CD$，
∴ $\angle BFE = \angle FED$（内错角相等）。
在 $\triangle BEF$ 和 $\triangle DEC$ 中，
$\angle B = \angle C$，$\angle EFB = \angle EDC$，
∴ $\triangle BEF \sim \triangle CDE$（AA相似）。
∴ $\frac{BE}{CD} = \frac{FE}{DE}$。
∵ 平行四边形 $ABCD$ 中，$AB = CD$，
∴ $\frac{BE}{AB} = \frac{FE}{DE}$，
即 $AB \cdot FE = BE \cdot DE$。
结论： $AB \cdot FE = BE \cdot DE$。

11. 如图，在正方形 $ ABCD $ 中，$ E $ 为边 $ AD $ 的中点，点 $ F $ 在边 $ CD $ 上，且 $ \angle BEF = 90^{\circ} $。
(1) 求证：$ \triangle ABE \sim \triangle DEF $；
(2) 若 $ AB = 4 $，延长 $ EF $ 交 $ BC $ 的延长线于点 $ G $，求 $ BG $ 的长。

答案： （1）证明：
在正方形$ABCD$中，$\angle A=\angle D = 90^{\circ}$。
所以$\angle AEB+\angle ABE = 90^{\circ}$。
因为$\angle BEF = 90^{\circ}$，所以$\angle AEB+\angle DEF = 90^{\circ}$。
则$\angle ABE=\angle DEF$。
又因为$\angle A=\angle D$，所以$\triangle ABE\sim\triangle DEF$（两角分别相等的两个三角形相似）。
（2）解：
因为$AB = 4$，$E$为$AD$中点，所以$AE = DE=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}AB = 2$。
由（1）知$\triangle ABE\sim\triangle DEF$，则$\frac{AB}{DE}=\frac{AE}{DF}$。
即$\frac{4}{2}=\frac{2}{DF}$，解得$DF = 1$。
所以$CF=CD - DF=4 - 1 = 3$。
因为$AD// BC$，所以$\triangle DEF\sim\triangle CGF$。
则$\frac{DE}{CG}=\frac{DF}{CF}$，即$\frac{2}{CG}=\frac{1}{3}$，解得$CG = 6$。
所以$BG=BC + CG=4 + 6 = 10$。
综上，（1）已证$\triangle ABE\sim\triangle DEF$；（2）$BG$的长为$10$。