《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册华师大版》

一元二次方程的根与系数的关系
关 系：如果 $ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$ 的两根是 $x_{1}$、$x_{2}$，那么 $x_{1}+x_{2}=$____，$x_{1}x_{2}=$____.
语言叙述：两根的和等于一次项系数与二次项系数的____，两根的积等于常数项与二次项系数的____.
易忽略点：利用一元二次方程的根与系数的关系的前提条件：①$a\neq0$；②$\Delta\geq0$.

答案： 关 系：如果 $ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$ 的两根是 $x_{1}$、$x_{2}$，那么 $x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$，$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$.
语言叙述：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比.

例 1 设 $x_{1}$、$x_{2}$ 是方程 $2x^{2}-9x + 6 = 0$ 的两个根，求下列各式的值：
（1）$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}$； （2）$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$；
（3）$(x_{1}-3)(x_{2}-3)$； （4）$x_{1}-x_{2}$.

答案： （1）$\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = \frac{3}{2}$．
（2）$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = \frac{57}{4}$．
（3）$(x_{1} - 3)(x_{2} - 3) = - \frac{3}{2}$．
（4）$x_{1} - x_{2} = \pm \frac{\sqrt{33}}{2}$．

例 2 [2023·衡阳]已知关于 $x$ 的方程 $x^{2}+mx - 20 = 0$ 的一个根是 $-4$，则它的另一个根是____.

答案： 5

例 3 [2024 秋·瓦房店市期末]已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+(k - 4)x + 2 - k = 0$（其中 $k$ 为常数）.
（1）求证：无论 $k$ 为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程有一个根为 $2$，求 $k$ 的值及该方程的另一个根.

答案： $(1)$ 证明方程总有两个不相等的实数根
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$。
在方程$x^{2}+(k - 4)x + 2 - k = 0$中，$a = 1$，$b = k - 4$，$c = 2 - k$。
则$\Delta=(k - 4)^{2}-4×1×(2 - k)$
$=k^{2}-8k + 16-8 + 4k$
$=k^{2}-4k + 8$
$=k^{2}-4k+4 + 4$
$=(k - 2)^{2}+4$。
因为$(k - 2)^{2}\geq0$，所以$(k - 2)^{2}+4＞0$，即$\Delta＞0$。
所以无论$k$为何值，方程总有两个不相等的实数根。
$(2)$ 求$k$的值及方程的另一个根
- 步骤一：求$k$的值
已知方程有一个根为$2$，将$x = 2$代入方程$x^{2}+(k - 4)x + 2 - k = 0$得：
$2^{2}+2(k - 4)+2 - k = 0$
$4 + 2k-8 + 2 - k = 0$
$(2k - k)+(4 + 2 - 8)=0$
$k - 2 = 0$
解得$k = 2$。
- 步骤二：求方程的另一个根
把$k = 2$代入原方程得$x^{2}-2x - 0 = 0$，即$x^{2}-2x=0$，提取公因式$x$得$x(x - 2)=0$。
根据“若$ab = 0$，则$a = 0$或$b = 0$”，可得$x = 0$或$x - 2 = 0$。
已知一个根为$2$，所以另一个根为$0$。
综上，$(1)$ 证明过程如上述；$(2)$$\boldsymbol{k = 2}$，方程的另一个根为$\boldsymbol{0}$。

1. [2024 秋·内江月考]若 $x_{1}$、$x_{2}$ 是方程 $x^{2}-8x - 9 = 0$ 的两个根，则 （ ）

A.$x_{1}+x_{2}=-8$
B.$x_{1}+x_{2}=8$
C.$x_{1}x_{2}=\frac{9}{8}$
D.$x_{1}x_{2}=9$

答案： 1.B