《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册华师大版》

8. 若下图中两个三角形相似,则$x =$____.

答案： 8. 2

9. 如图,已知$\angle A = \angle D$,不添加辅助线和字母,要使$\triangle ABC \backsim \triangle DEF$,还需添加一个条件,你添加的条件是________________.（只需写一个条件）

答案： 9. AB//DE(答案不唯一)

10. 如图,在平行四边形$ABCD$中,$F$是对角线$BD$上的一点,连结$AF$并延长,交$BC$于点$E$.已知$BF:FD = 2:3$,$BC = 12\ cm$,则$CE =$____$cm$.

答案： 10. 4

11. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = 8$,$AC = 6$,点$D$在$AC$上,且$AD = 2$.如果要在$AB$上找一点$E$,使$\triangle ADE$与$\triangle ABC$相似,则$AE$的长为__________.

答案： $11. \frac{8}{3} $或$ \frac{3}{2}$

12. [2024 秋·临汾期中]如图,在$\triangle ABC$中,点$D$在边$AC$上,$AD:DC = 1:2$,$O$是$BD$的中点,连结$AO$并延长,交$BC$于点$E$.若$BE = 3$,则$BC$的长为_____.

答案： 12. 12

13. (8 分)如图,在等腰三角形$ABC$中,$AB = AC$,点$E$、$F$在线段$BC$上,点$Q$在线段$AB$上,且$CF = BE$,$AE^{2} = AQ \cdot AB$.求证:
(1)$AE = AF$;
(2)$\triangle CAF \backsim \triangle BFQ$.

答案：
(1) 证明：
∵ $AB = AC$，
∴ $\angle B = \angle C$。
∵ $CF = BE$，
∴ $BC - CF = BC - BE$，即 $BF = CE$。
在 $\triangle AEC$ 和 $\triangle AFB$ 中，
$\begin{cases} AC = AB \\ \angle C = \angle B \\ CE = BF \end{cases}$，
∴ $\triangle AEC \cong \triangle AFB(SAS)$，
∴ $AE = AF$。
(2) 证明：
∵ $AE^2 = AQ \cdot AB$，且 $AB = AC$，$AE = AF$，
∴ $AF^2 = AQ \cdot AC$，即 $\frac{AF}{AQ} = \frac{AC}{AF}$。
∵ $\angle FAQ = \angle CAF$，
∴ $\triangle AFQ \backsim \triangle ACF$，
∴ $\angle AFQ = \angle C$。
∵ $\angle B = \angle C$，
∴ $\angle AFQ = \angle B$。
∵ $\angle CAF = \angle BAF$，
∴ $\triangle CAF \backsim \triangle BFQ$。

14. (8 分)[2024 秋·山西长治市壶关县期中]如图,在矩形$ABCD$中,$AE \perp BD$于点$E$,连结$CE$,过点$E$作$EF \perp EC$交$AD$于点$F$.
(1)求证:$AE \cdot AB = DE \cdot AF$;
(2)若$AB = 1$,$BC = 2$,求$FD$的长.

答案： （1）证明：
因为四边形$ABCD$是矩形，所以$\angle BAD = 90^{\circ}$，又$AE\perp BD$，$EF\perp EC$，则$\angle AED=\angle FEC = 90^{\circ}$。
所以$\angle AED-\angle AEF=\angle FEC-\angle AEF$，即$\angle DEC=\angle AEF$。
因为$\angle BAD = 90^{\circ}$，$AE\perp BD$，所以$\angle BAE+\angle EAD = 90^{\circ}$，$\angle ADE+\angle EAD = 90^{\circ}$，则$\angle BAE=\angle ADE$。
又因为$\angle BAD=\angle ADC = 90^{\circ}$，所以$\triangle AEF\sim\triangle DEC$。
则$\frac{AE}{DE}=\frac{AF}{DC}$，因为$DC = AB$，所以$\frac{AE}{DE}=\frac{AF}{AB}$，即$AE\cdot AB = DE\cdot AF$。
（2）解：
因为四边形$ABCD$是矩形，$AB = 1$，$BC = 2$，所以$AD = BC = 2$，$BD=\sqrt{AB^{2}+AD^{2}}=\sqrt{1 + 4}=\sqrt{5}$。
由$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}AB\cdot AD=\frac{1}{2}BD\cdot AE$，可得$AE=\frac{AB\cdot AD}{BD}=\frac{1×2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
再根据$DE=\sqrt{AD^{2}-AE^{2}}=\sqrt{4-\frac{4}{5}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$。
由（1）知$\triangle AEF\sim\triangle DEC$，所以$\frac{AE}{DE}=\frac{AF}{DC}$，把$AE=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$DE=\frac{4\sqrt{5}}{5}$，$DC = 1$代入$\frac{AE}{DE}=\frac{AF}{DC}$中，得$\frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{\frac{4\sqrt{5}}{5}}=\frac{AF}{1}$。
解得$AF=\frac{1}{2}$。
所以$FD=AD - AF=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$。
综上，（1）证明如上；（2）$FD$的长为$\frac{3}{2}$。