《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册华师大版》

2. 设 $x_{1}$、$x_{2}$ 是方程 $x^{2}-4x + 1 = 0$ 的两个根，则 $x_{1}+x_{2}=$____，$x_{1}x_{2}=$____，$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-$____$=$____.

答案： 2.4　1　2$x_{1}x_{2}$　14

3. [2024·泸州]已知 $x_{1}$、$x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2}-3x - 5 = 0$ 的两个实数根，则 $(x_{1}-x_{2})^{2}+3x_{1}x_{2}$ 的值是____.

答案： 3.14

1. [2024 秋·眉山月考]设方程 $x^{2}+x - 1 = 0$ 的两个实数根分别为 $x_{1}$、$x_{2}$，则 $\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}$ 的值为 （ ）

A.$1$
B.$-1$
C.$\sqrt{5}$
D.$\frac{\sqrt{5}}{5}$

答案： 1.A

2. 若实数 $x_{1}$、$x_{2}$ 满足 $x_{1}+x_{2}=7$，$x_{1}x_{2}=12$，则下列以 $x_{1}$、$x_{2}$ 为根的一元二次方程是 （ ）

A.$x^{2}-7x + 12 = 0$
B.$x^{2}+7x + 12 = 0$
C.$x^{2}+7x - 12 = 0$
D.$x^{2}-7x - 12 = 0$

答案： 2.A

3. 设下列各方程的两根分别为 $x_{1}$、$x_{2}$.
（1）$3x^{2}=1$，则 $x_{1}+x_{2}=$____，$x_{1}x_{2}=$____；
（2）$2x^{2}+3x = 0$，则 $x_{1}+x_{2}=$____，$x_{1}x_{2}=$____；
（3）$x^{2}-3x + 1 = 0$，则 $x_{1}+x_{2}=$____，$x_{1}x_{2}=$____；
（4）$4x^{2}-7x + 1 = 0$，则 $x_{1}+x_{2}=$____，$x_{1}x_{2}=$____.

答案： 3.（1）0　$- \frac{1}{3}$　（2）$- \frac{3}{2}$　０
（3）３　１　（4）$\frac{7}{4}$　$\frac{1}{4}$

4. [2024·内江一模]已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-3x + m = 0$ 有实数根 $\alpha$、$\beta$，且 $\alpha^{2}+\beta^{2}=17$，则 $m$ 的值是____.

答案： 4.－４

5. 已知 $x_{1}$、$x_{2}$ 是方程 $x^{2}+6x + 3 = 0$ 的两实数根，求下列各代数式的值：
（1）$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$； （2）$\frac{x_{2}}{x_{1}}+\frac{x_{1}}{x_{2}}$；
（3）$(x_{1}+1)(x_{2}+1)$.

答案： 5.（1）$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 30$．
（2）$\frac{x_{2}}{x_{1}} + \frac{x_{1}}{x_{2}} = 10$．
（3）$(x_{1} + 1)(x_{2} + 1) = - 2$．

6. [2023·黄冈]已知一元二次方程 $x^{2}-3x + k = 0$ 的两个实数根为 $x_{1}$、$x_{2}$，若 $x_{1}x_{2}+2x_{1}+2x_{2}=1$，则实数 $k=$____.

答案： 6.－５

7. [2023·达州]已知 $x_{1}$、$x_{2}$ 是方程 $2x^{2}+kx - 2 = 0$ 的两个实数根，且 $(x_{1}-2)(x_{2}-2)=10$，则 $k$ 的值为____.

答案： 7.７

8. [2024·遂宁]已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-(m + 2)x + m - 1 = 0$.
（1）求证：无论 $m$ 取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根为 $x_{1}$、$x_{2}$，且 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}=9$，求 $m$ 的值.

答案： （1）证明：$\Delta =[-(m+2)]^{2}-4×1×(m-1)=m^{2}+4m+4-4m+4=m^{2}+8$，$\because m^{2}\geq0$，$\therefore m^{2}+8＞0$，即$\Delta＞0$，$\therefore$无论$m$取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）由韦达定理得$x_{1}+x_{2}=m+2$，$x_{1}x_{2}=m-1$，$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-3x_{1}x_{2}=(m+2)^{2}-3(m-1)=m^{2}+4m+4-3m+3=m^{2}+m+7$，$\because x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}=9$，$\therefore m^{2}+m+7=9$，$m^{2}+m-2=0$，$(m+2)(m-1)=0$，解得$m=-2$或$m=1$，$\therefore m$的值为$-2$或$1$．