《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册华师大版》

3. 如图,在$□ ABCD$中,过点 B 作$BE⊥CD,$垂足为 E,连结 AE,F 为 AE 上一点,且$∠BFE=∠C.$
(1)求证:$△ABF\backsim △EAD;$
(2)若$AB=4,∠BAE=30^{\circ },AD=3$,求AE 和 BF 的长.

答案： （1）证明$\triangle ABF\backsim\triangle EAD$：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB// CD$，$AD// BC$。
由$AB// CD$，可得$\angle BAE=\angle AED$（两直线平行，内错角相等）。
又因为$AD// BC$，所以$\angle C + \angle D=180^{\circ}$。
已知$\angle BFE=\angle C$，且$\angle BFE+\angle BFA = 180^{\circ}$，所以$\angle BFA=\angle D$。
在$\triangle ABF$和$\triangle EAD$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle BAE=\angle AED\\\angle BFA=\angle D\end{array}\right.$。
根据两角分别相等的两个三角形相似，所以$\triangle ABF\backsim\triangle EAD$。

$ (2)AE=\frac{8\sqrt{3}}{3}，$$BF=\frac{3\sqrt{3}}{2}$

4. 从一个三角形(不是等腰三角形)的一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原三角形相似,我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.
(1)如图,在$△ABC$中,CD 为角平分线,$∠A=40^{\circ },∠B=60^{\circ }$,求证:CD 为$△ABC$的完美分割线；
(2)在$△ABC$中,$∠A=48^{\circ }$,CD 是$△ABC$的完美分割线,且$△ACD$为等腰三角形,求$∠ACB$的度数.

答案： （1）
首先求$\angle ACB$的度数：
在$\triangle ABC$中，根据三角形内角和定理$\angle A+\angle B + \angle ACB=180^{\circ}$，已知$\angle A = 40^{\circ}$，$\angle B = 60^{\circ}$，则$\angle ACB=180^{\circ}-\angle A - \angle B=180^{\circ}-40^{\circ}-60^{\circ}=80^{\circ}$。
然后求$\angle ACD$和$\angle BCD$的度数：
因为$CD$为角平分线，所以$\angle ACD=\angle BCD=\frac{1}{2}\angle ACB$，则$\angle ACD = \angle BCD = 40^{\circ}$。
接着判断$\triangle ACD$的形状：
由于$\angle A=\angle ACD = 40^{\circ}$，根据等腰三角形的判定（等角对等边），所以$\triangle ACD$是等腰三角形。
最后判断$\triangle BCD$与$\triangle BAC$是否相似：
在$\triangle BCD$和$\triangle BAC$中，$\angle B=\angle B$（公共角），$\angle BCD=\angle A = 40^{\circ}$，根据两角分别相等的两个三角形相似，所以$\triangle BCD\sim\triangle BAC$。
综上，$CD$为$\triangle ABC$的完美分割线。
$ (2)\angle ACB$的度数为$96^{\circ}$或$114^{\circ}。$