《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册华师大版》

14. 二次根式$\sqrt{a}$的双重非负性是指被开方数$a\geqslant0$，其化简的结果$\sqrt{a}\geqslant0$，利用$\sqrt{a}$的双重非负性解决以下问题：
(1)已知$\sqrt{a - 2}+\sqrt{5 + b}=0$，则$2ab=$____；
(2)已知实数$m$、$n(n\neq0)$满足$\vert2m - 4\vert+\sqrt{2n + 6}=0$，求$m - n$的值；
(3)若$x$、$y$为实数，且$x^{2}=\sqrt{y - 3}+\sqrt{3 - y}+64$，求$x + y$的值.

答案： 14.
(1)-20
(2)5
(3)11或-5

15. (模型观念)[2024春·山西阳高县期末]下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成下列问题.
双层二次根式的化简：
二次根式中有一类带双层根号的式子，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质消掉外面的一层根号.
例如，化简$\sqrt{3 + 2\sqrt{2}}$.
$\because(1+\sqrt{2})^{2}=1^{2}+2×1×\sqrt{2}+(\sqrt{2})^{2}=3 + 2\sqrt{2}$（依据____），
$\therefore\sqrt{3 + 2\sqrt{2}}=\sqrt{1^{2}+2×1×\sqrt{2}+(\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{(1+\sqrt{2})^{2}}=1+\sqrt{2}$.
通过计算，还发现：
设$\sqrt{a + b\sqrt{2}}=\sqrt{(m + n\sqrt{2})^{2}}=m + n\sqrt{2}$（其中$m$、$n$、$a$、$b$都为正整数），
则有$a + b\sqrt{2}=m^{2}+2n^{2}+2mn\sqrt{2}$，
$\therefore a = m^{2}+2n^{2}$，$b = 2mn$.
这样就找到了一种把$\sqrt{a + b\sqrt{2}}$化简的方法.
(1)文中横线位置应填____；
(2)根据上面的思路，化简：$\sqrt{14 - 6\sqrt{5}}$；
(3)已知$\sqrt{a + 4\sqrt{3}}=x + 2\sqrt{3}$，其中$a$、$x$均为正整数，求$a$和$x$的值.

答案： 15.
(1)完全平方公式$ (2)3-\sqrt{5}$
(3)a=13,x=1