《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册华师大版》

1. 相似图形
定 义：具有________的图形称为相似图形.
2. 成比例线段
成比例线段：对于给定的四条线段 $a$、$b$、$c$、$d$，如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，如 $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$（或 $a:b = c:d$），那么，这四条线段叫做________，简称比例线段. 此时也称这四条线段成比例.
3. 比例的性质
基本性质：如果 $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，那么________.
如果 $ad = bc$（$a$、$b$、$c$、$d$ 均不为 $0$），那么________.
推 论：（1）已知 $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，则 $\frac{a\pm b}{b}=\frac{c\pm d}{d}$， $\frac{a}{a - b}=\frac{c}{c - d}(a\neq b)$；
（2）若 $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\cdots=\frac{m}{n}(b + d+\cdots + n\neq 0)$，则 $\frac{a + c+\cdots + m}{b + d+\cdots + n}=\frac{a}{b}$.

答案： 1. 相同形状 2. 成比例线段 3. ad=bc；$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$

例 1 （1）已知线段 $a = 3\mathrm{cm}$，$b = 60\mathrm{mm}$，$c = 4\mathrm{cm}$，如果 $a$、$b$、$c$、$d$ 四条线段是成比例线段，则 $d$ 的长为______$\mathrm{cm}$；
（2）已知线段 $a = 4\mathrm{cm}$，$c = 9\mathrm{cm}$，且 $a$、$b$、$b$、$c$ 是成比例线段，则线段 $b$ 的长为______$\mathrm{cm}$；
（3）已知线段 $a = 2\mathrm{cm}$，$b = 30\mathrm{m}$，$c = 6\mathrm{cm}$，$d = 10\mathrm{m}$，试判断它们是否是成比例线段.

答案： （1）8；（2）6；（3）a、c、d、b是成比例线段.

例 2 根据条件求值.
（1）若 $\frac{a}{b}=\frac{1}{5}$，则 $\frac{a + b}{b}$ 的值为______；
（2）若 $\frac{x}{y}=\frac{1}{3}$，则 $\frac{2x + y}{x - y}$ 的值为______.

答案： （1）$\frac{6}{5}$；（2）$-\frac{5}{2}$

例 3 已知 $\frac{b}{a}=\frac{d}{c}\neq 1$，求证：$\frac{a + b}{a - b}=\frac{c + d}{c - d}$.

答案： 设$\frac{b}{a}=\frac{d}{c}=k$，则$b = ka$，$d = kc$。
因为$\frac{b}{a}=\frac{d}{c}\neq1$，所以$k\neq1$。
$\frac{a + b}{a - b}=\frac{a+ka}{a - ka}=\frac{a(1 + k)}{a(1 - k)}=\frac{1 + k}{1 - k}$。
$\frac{c + d}{c - d}=\frac{c+kc}{c - kc}=\frac{c(1 + k)}{c(1 - k)}=\frac{1 + k}{1 - k}$。
所以$\frac{a + b}{a - b}=\frac{c + d}{c - d}$。

1. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ）

A.$a = 1$，$b = 3$，$c = 2$，$d = 4$
B.$a = 4$，$b = 6$，$c = 5$，$d = 10$
C.$a = 2$，$b = 4$，$c = 3$，$d = 6$
D.$a = 2$，$b = 3$，$c = 4$，$d = 5$

答案： 1.C

2. 由等积式 $ma = nb$（$a$、$b$、$m$、$n$ 均不为 $0$），能得到比例式（ ）

A.$\frac{a}{b}=\frac{m}{n}$
B.$\frac{a}{b}=\frac{n}{m}$
C.$\frac{m}{a}=\frac{n}{b}$
D.$\frac{m}{b}=\frac{a}{n}$

答案： 2.B