《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册华师大版》

10. 解答下列问题.
(1)化简：$\dfrac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}=$__________，$\dfrac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=$______；
(2)比较$\sqrt{13}-\sqrt{11}$和$\sqrt{15}-\sqrt{13}$的大小；
(3)计算：$\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+\cdots+\dfrac{1}{\sqrt{2025}+\sqrt{2024}}\right)(\sqrt{2025}+1)$.

答案： 10.
(1)$\sqrt{7} - \sqrt{6}$ $\frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2}$
(2)$\sqrt{13} - \sqrt{11} ＞ \sqrt{15} - \sqrt{13}$
(3)2024

11. [2024·眉山期末]已知$x = 2-\sqrt{3}$，$y = 2+\sqrt{3}$.
(1)求$x + y$和$xy$的值；
(2)求$x^{2}+y^{2}-3xy$的值；
(3)若$x$的小数部分是$a$，$y$的整数部分是$b$，求$ax - by$的值.

答案： 11.
(1)$x + y = 4,xy = 1$
(2)11
(3)$1 - 7\sqrt{3}$

12. 规定$(a,b)$表示一对数对，给出如下定义：$m=\dfrac{1}{\sqrt{a}}$，$n=\sqrt{b}(a＞0,b＞0)$.将$(m,n)$与$(n,m)$称为数对$(a,b)$的一对“对称数对”.例如，数对$(4,1)$的一对“对称数对”为$\left(\dfrac{1}{2},1\right)$与$\left(1,\dfrac{1}{2}\right)$.
(1)数对$(4,3)$的一对“对称数对”是__________.
(2)若数对$(2,y)$的一对“对称数对”相同，则$y$的值是多少？
(3)若数对$(a,b)$的一个“对称数对”是$(\sqrt{5},3\sqrt{2})$，求$a$、$b$的值.

答案： 12.
(1)$(\frac{1}{2},\sqrt{3})$与$(\sqrt{3},\frac{1}{2})$
(2)$y = \frac{1}{2}$
(3)$a = \frac{1}{5},b = 18$或$a = \frac{1}{18},b = 5$.

13. 《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边$a$、$b$、$c$，求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即为$S=\sqrt{\dfrac{1}{4}\left[c^{2}a^{2}-\left(\dfrac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2}\right)^{2}\right]}$.现有周长为$18$的三角形的三边满足$a:b:c = 4:3:2$，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为________.

答案： 13. $3\sqrt{15}$