《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册华师大版》

2. [2024·平城区一模]请阅读下列材料，完成相应的任务.
有这样一个题目：设有两只电阻，分别为$R_{1}$和$R_{2}$，问并联后的电阻值$R$是多少？
我们可以利用公式$\frac{1}{R}=\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}$，求得$R$的值，也可以设计一种图形直接得出结果，具体如下：
如图 1，在直线$l$上任取两点$A$、$B$，分别过点$A$、$B$作直线$l$的垂线，并在这两条垂线上分别截取$AC = R_{1}$，$BD = R_{2}$，且点$C$、$D$位于直线$l$的同侧，连结$AD$、$BC$交于点$E$，过点$E$作$EF\perp l$，则线段$EF$的长度就是并联后的电阻值$R$.
证明：$\because EF\perp l$，$CA\perp l$，
$\therefore\angle EFB = \angle CAB = 90^{\circ}$.
又$\because\angle EBF = \angle CBA$，
$\therefore\triangle EBF\backsim\triangle CBA$(依据 1)，
$\therefore\frac{BF}{AB}=\frac{EF}{AC}$(依据 2).
同理可得$\frac{AF}{AB}=\frac{EF}{BD}$，
$\therefore\frac{BF}{AB}+\frac{AF}{AB}=\frac{EF}{AC}+\frac{EF}{BD}$，
$\therefore 1 = \frac{EF}{AC}+\frac{EF}{BD}$，
$\therefore\frac{1}{EF}=\frac{1}{AC}+\frac{1}{BD}$，
即$\frac{1}{R}=\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}$.
(1)上述证明过程中的“依据 1”和“依据 2”分别指的是什么？
(2)如图 2，两个电阻并联在同一电路中，已知$R_{1} = 3$千欧，$R_{2} = 6$千欧，请在图 3 中(1 个单位长度代表 1 千欧)画出表示该电路图中总阻值$R$的线段长.
(3)受以上作图法的启发，小明提出了已知$R_{1}$和$R$，求$R_{2}$的一种作图方法：如图 4，作$\triangle ABC$，使$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = BC = R_{1}$，过点$B$作$BC$的垂线，并在垂线上截取$BD = R$，使点$D$与点$A$在直线$BC$的同一侧，作射线$AD$，交$CB$的延长线于点$E$，则$BE$即为$R_{2}$. 你认为他的方法是否正确？若正确，请加以证明；若不正确，请说明理由.

答案： 2.

(1)依据1:两组角对应相等的两个三角形相似,依据2:相似三角形的对应边成比例.

(2) 解：
根据$\frac{1}{R}=\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}$，$R_{1} = 3$千欧，$R_{2} = 6$千欧，可得$\frac{1}{R}=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{2 + 1}{6}=\frac{1}{2}$，$R = 2$千欧。
在图 3 中，按照材料中的方法，过$A$作垂线取$AC = 3$（单位长度），过$B$作垂线取$BD = 6$（单位长度），连接$AD$、$BC$交于点$E$，过$E$作$EF\perp l$，$EF$长$2$个单位长度 。
(3) 小明方法是否正确
解：
正确。
证明：
因为$AC\perp CE$，$BD\perp CE$，所以$\angle ACE=\angle BDE = 90^{\circ}$，$\angle AEC=\angle BED$，所以$\triangle ACE\backsim\triangle BDE$。
则$\frac{AC}{BD}=\frac{CE}{BE}$。
设$BE = x$，$AC = BC = R_{1}$，$BD = R$，$CE=R_{1}+x$。
所以$\frac{R_{1}}{R}=\frac{R_{1}+x}{x}$，交叉相乘得$R_{1}x=R(R_{1}+x)$，展开$R_{1}x=RR_{1}+Rx$，移项$R_{1}x - Rx=RR_{1}$，即$x(R_{1}-R)=RR_{1}$，$x=\frac{RR_{1}}{R_{1}-R}$。
又因为$\frac{1}{R}=\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}$，可得$R_{2}=\frac{RR_{1}}{R_{1}-R}$，所以$BE$即为$R_{2}$，小明的方法正确。