《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册华师大版》

14. [2024 秋·杏花岭区月考]将边长分别为$1$、$1+\sqrt{2}$、$1 + 2\sqrt{2}$、$1 + 3\sqrt{2}$的正方形的面积记为$S_{1}$、$S_{2}$、$S_{3}$、$S_{4}$.
(1)计算：$S_{2}-S_{1}$、$S_{3}-S_{2}$、$S_{4}-S_{3}$.
(2)把边长为$1+(n - 1)\sqrt{2}$的正方形的面积记作$S_{n}$，其中$n$是正整数，根据(1)中计算的结果，你能猜出$S_{n + 1}-S_{n}$等于多少吗？并说明理由.
(3)若将边长变为$a$、$a+\sqrt{b}$、$a + 2\sqrt{b}$、$a + 3\sqrt{b}$时，则$S_{n + 1}-S_{n}$的值是多少？

答案： 14.
(1)$S_2 - S_1 = 2 + 2\sqrt{2}$;$S_3 - S_2 = 6 + 2\sqrt{2}$;
$S_4 - S_3 = 10 + 2\sqrt{2}$.
(2)$S_{n + 1} - S_n = 4n - 2 + 2\sqrt{2}$.
(3)$2nb - b + 2a\sqrt{b}$

综合与实践：探究两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系.
【探究发现】
$6 + 6 = 2\sqrt{6× 6}=12$；
$\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}=2\sqrt{\dfrac{1}{5}×\dfrac{1}{5}}=\dfrac{2}{5}$；
$0.3 + 0.3 = 2\sqrt{0.3× 0.3}=0.6$；
$\dfrac{1}{3}+3＞2\sqrt{\dfrac{1}{3}× 3}=2$；
$0.2 + 3.2＞2\sqrt{0.2× 3.2}=1.6$；
$\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{27}＞2\sqrt{\dfrac{1}{3}×\dfrac{1}{27}}=\dfrac{2}{9}$.
【猜想结论】
若$a＞0$，$b＞0$，则有$a + b\geqslant 2\sqrt{ab}$（当且仅当$a = b$时，等号成立）.
【证明结论】
$\because(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}\geqslant 0$，
$\therefore$①当且仅当$\sqrt{a}-\sqrt{b}=0$，即$a = b$时，$a - 2\sqrt{ab}+b = 0$，即$a + b = 2\sqrt{ab}$；
②当$\sqrt{a}-\sqrt{b}\neq 0$，即$a\neq b$时，$a - 2\sqrt{ab}+b＞0$，即$a + b＞2\sqrt{ab}$.
综合上述，若$a＞0$，$b＞0$，则有$a + b\geqslant 2\sqrt{ab}$（当且仅当$a = b$时，等号成立）.
【应用结论】
(1)对于函数$y = x+\dfrac{1}{x}(x＞0)$，当$x$取何值时，$y$的值最小？最小值是多少？
(2)对于函数$y=\dfrac{1}{x - 5}+x(x＞5)$，当$x$取何值时，$y$的值最小？最小值是多少？
【拓展应用】
(3)如图，学校计划一边靠墙，其余边用篱笆围成三小块面积均为$24\space m^{2}$的矩形苗圃，中间用两道篱笆隔断.设每小块苗圃垂直于墙的一边长为$x\space m$，当$x$为何值时，所用篱笆的总长度最短？最短长度是多少？

答案：
(1)当$x = 1$时，y的值最小，最小值是2.
(2)当$x = 6$时，y的值最小，最小值是7.
(3)当x为$3\sqrt{2}$米时，所用篱笆总长度最短，最短长度为$24\sqrt{2}m$.