《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册华师大版》

1. 相似三角形的判定定理2
定理：两边成比例且______的两个三角形相似.
2. 相似三角形的判定定理3
定理：三边______的两个三角形相似.
注意：(1)由于相似只要求形状相同，所以我们应注意相似三角形的判定方法与全等三角形的判定方法的区别与联系；
(2)在运用中，视其具体情形灵活选择定理2或定理3.______，可考虑用定理3进行判断.

答案： 1.夹角相等
2.成比例 当两个三角形找不到一对相等的角时

例1 如图，D、E是△ABC的边AB、AC上的点，AB=9，AD=4，AC=7.2，AE=5. 求证：△ABC∽△AED.

【点悟】两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.

答案： 证明：
∵ $ AB=9 $, $ AD=4 $, $ AC=7.2 $, $ AE=5 $,
∴ $ \frac{AB}{AE} = \frac{9}{5} $, $ \frac{AC}{AD} = \frac{7.2}{4} = \frac{9}{5} $,
∴ $ \frac{AB}{AE} = \frac{AC}{AD} $.
又
∵ $ \angle A = \angle A $,
∴ $ \triangle ABC \sim \triangle AED $.

例2 如图，在△ABC和△A'B'C'中，D、D'分别是AB、A'B'上一点，$\frac{AD}{AB}=\frac{A'D'}{A'B'}$. 当$\frac{CD}{C'D'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{AB}{A'B'}$时，△ADC与△A'D'C'是否相似？请说明理由.

答案： 相似，理由如下：
设$\frac{AD}{AB}=\frac{A'D'}{A'B'}=k$，则$AD = kAB$，$A'D' = kA'B'$。
因为$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{CD}{C'D'}$，设$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{CD}{C'D'}=m$，则$AB = mA'B'$，$AC = mA'C'$，$CD = mC'D'$。
所以$AD = kAB = kmA'B'$，$\frac{AD}{A'D'}=\frac{kmA'B'}{kA'B'}=m$。
因此$\frac{AD}{A'D'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{CD}{C'D'}=m$。
根据三边成比例的两个三角形相似，可得$\triangle ADC\sim\triangle A'D'C'$。

例3 如图，已知$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE}$，点B、D、F、E在同一条直线上，请找出图中所有的相似三角形，并说明理由.

答案： 【例3】△ABC∽△ADE，△BAD∽△CAE，△ABF∽△ECF，△AEF∽△BCF.理由略.