《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册华师大版》

4. 如图，在△ABC 中，AB = AC，∠A = 36°，BD 为角平分线，DE⊥AB，垂足为 E.
(1)写出图中一对全等三角形和一对相似比不为 1 的相似三角形；
(2)选择(1)中一对三角形加以证明.

答案： 4.
(1)△ADE≌△BDE,△ABC∽△BCD.
(2)略

5. （推理能力）三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）. 解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形从而解决问题.
(1)如图 1，在四边形 ABCD 中，点 P 为 AB 上一点，∠DPC = ∠A = ∠B = 90°. 求证：AD·BC = AP·BP.
(2)如图 2，在四边形 ABCD 中，点 P 为 AB 上一点，当∠DPC = ∠A = ∠B = β 时，(1)中的结论是否依然成立？说明理由.
(3)请利用(1)、(2)的结论解决问题：如图 3，在△ABC 中，AB = 2√{2}，∠B = 45°，以点 A 为直角顶点作等腰直角三角形△ADE，点 D 在 BC 上，点 E 在 AC 上，点 F 在 BC 上，且∠EFD = 45°. 若 CE = √{5}，求 CD 的长.

答案： （1）证明：
因为$\angle DPC=\angle A = \angle B = 90^{\circ}$，所以$\angle ADP+\angle APD = 90^{\circ}$，$\angle BPC+\angle APD = 90^{\circ}$。
则$\angle ADP=\angle BPC$。
在$\triangle ADP$和$\triangle BPC$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle A=\angle B\\\angle ADP=\angle BPC\end{array}\right.$。
根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$\triangle ADP\sim\triangle BPC$。
由相似三角形的性质$\frac{AD}{BP}=\frac{AP}{BC}$，所以$AD\cdot BC = AP\cdot BP$。
（2）结论依然成立。
理由：因为$\angle DPC=\angle A=\angle B=\beta$，所以$\angle ADP+\angle APD = 180^{\circ}-\beta$，$\angle BPC+\angle APD = 180^{\circ}-\beta$。
则$\angle ADP=\angle BPC$。
在$\triangle ADP$和$\triangle BPC$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle A=\angle B\\\angle ADP=\angle BPC\end{array}\right.$。
根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$\triangle ADP\sim\triangle BPC$。
由相似三角形的性质$\frac{AD}{BP}=\frac{AP}{BC}$，所以$AD\cdot BC = AP\cdot BP$。
（3）CD=5