《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册华师大版》

相似三角形的判定定理 1
定 理：两角________的两个三角形相似.
注 意：在相似三角形的三个简单判定定理中，本定理所需条件较少，所以在今后涉及相似三角形的证明中用得较多，使用时一定要注意对应两角相等.

答案： 分别相等

例 1 如图，在△ABC 中，∠ACD = ∠B. 求证：△ABC∽△ACD.

【点悟】两角分别相等的两个三角形相似是判定两三角形相似的常用方法.

答案： 证明：在△ABC和△ACD中，
∵∠ACD = ∠B（已知），
∠A = ∠A（公共角），
∴△ABC∽△ACD（两角分别相等的两个三角形相似）。

例 2 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CD⊥AB 于点 D.
(1)图中有哪些三角形相似？
(2)求证：AC² = AD·AB，BC² = BD·BA，CD² = AD·BD.
(3)若 AD = 2，BD = 8，求 AC、BC、CD 的长.
(4)若 AC = 6，BD = 9，求 AD、CD、BC 的长.
(5)求证：AC·BC = AB·CD.

答案： （1）
解：在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$CD\perp AB$于点$D$。
因为$\angle A=\angle A$，$\angle ACB=\angle ADC = 90^{\circ}$，所以$\triangle ABC\sim\triangle ACD$；
因为$\angle B=\angle B$，$\angle ACB=\angle BDC = 90^{\circ}$，所以$\triangle ABC\sim\triangle CBD$；
因为$\angle A+\angle B = 90^{\circ}$，$\angle B+\angle BCD = 90^{\circ}$，所以$\angle A=\angle BCD$，又$\angle ADC=\angle CDB = 90^{\circ}$，所以$\triangle ACD\sim\triangle CBD$。
综上，相似三角形有$\triangle ABC\sim\triangle ACD$，$\triangle ABC\sim\triangle CBD$，$\triangle ACD\sim\triangle CBD$。
（2）
证明：
① 因为$\triangle ABC\sim\triangle ACD$，根据相似三角形的性质$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$（相似三角形对应边成比例），所以$AC^{2}=AD\cdot AB$。
② 因为$\triangle ABC\sim\triangle CBD$，根据相似三角形的性质$\frac{BC}{BA}=\frac{BD}{BC}$，所以$BC^{2}=BD\cdot BA$。
③ 因为$\triangle ACD\sim\triangle CBD$，根据相似三角形的性质$\frac{CD}{BD}=\frac{AD}{CD}$，所以$CD^{2}=AD\cdot BD$。
（3）
解：已知$AD = 2$，$BD = 8$。
由$AC^{2}=AD\cdot AB$，$AB=AD + BD=2 + 8 = 10$，则$AC=\sqrt{AD\cdot AB}=\sqrt{2×10}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
由$BC^{2}=BD\cdot BA$，则$BC=\sqrt{BD\cdot BA}=\sqrt{8×10}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$。
由$CD^{2}=AD\cdot BD$，则$CD=\sqrt{AD\cdot BD}=\sqrt{2×8}=\sqrt{16}=4$。
（4）
解：已知$AC = 6$，$BD = 9$。
设$AD=x$，由$AC^{2}=AD\cdot AB$，$AB=x + 9$，则$6^{2}=x(x + 9)$，即$x^{2}+9x - 36=0$。
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，这里$a = 1$，$b = 9$，$c=-36$，根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，$\Delta=b^{2}-4ac=9^{2}-4×1×(-36)=81 + 144 = 225$，$x=\frac{-9\pm\sqrt{225}}{2}=\frac{-9\pm15}{2}$。
解得$x_{1}=3$，$x_{2}=-12$（边长不能为负舍去），所以$AD = 3$。
由$CD^{2}=AD\cdot BD$，则$CD=\sqrt{AD\cdot BD}=\sqrt{3×9}=3\sqrt{3}$。
由$BC^{2}=BD\cdot BA$，$BA=AD + BD=3 + 9 = 12$，则$BC=\sqrt{BD\cdot BA}=\sqrt{9×12}=\sqrt{108}=6\sqrt{3}$。
（5）
证明：
因为$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC$（三角形面积公式，以$AC$、$BC$为直角边），又因为$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot CD$（三角形面积公式，以$AB$为底，$CD$为高）。
所以$\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot CD$，两边同时乘以$2$，可得$AC\cdot BC=AB\cdot CD$。