《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册华师大版》

1. [2024·内江]已知$\triangle ABC$与$\triangle DEF$相似，且相似比为$1:3$，则$\triangle ABC$与$\triangle DEF$的周长之比是（ ）

A.$1:1$
B.$1:3$
C.$1:6$
D.$1:9$

答案： 1.B

2. [2024·重庆]若两个相似三角形的相似比为$1:4$，则这两个三角形面积的比是（ ）

A.$1:2$
B.$1:4$
C.$1:8$
D.$1:16$

答案： 2.D

3. [2024·云南]如图，$AB$与$CD$交于点$O$，且$AC // BD$。若$\frac{OA + OC + AC}{OB + OD + BD} = \frac{1}{2}$，则$\frac{AC}{BD} =$______。

答案： $3.\frac{1}{2}$

1. [2024·大同期末]若两个相似三角形对应中线的比为$\frac{\sqrt{2}}{3}$，则这两个相似三角形的面积比为（ ）

A.$\sqrt{2}:3$
B.$3:\sqrt{2}$
C.$9:2$
D.$2:9$

答案： 1.D

2. 试证明相似三角形对应角的平分线之比等于相似比。（要求：先画出图形，再根据图形写出已知、求证和证明过程）

答案： 图形：画△ABC与△A'B'C'，使△ABC∽△A'B'C'，AD是∠BAC的平分线（D在BC上），A'D'是∠B'A'C'的平分线（D'在B'C'上）。
已知：△ABC∽△A'B'C'，相似比为k（即$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}=k$），AD平分∠BAC，A'D'平分∠B'A'C'。
求证：$\frac{AD}{A'D'}=k$。
证明：
∵△ABC∽△A'B'C'，
∴∠BAC=∠B'A'C'，∠B=∠B'。
∵AD平分∠BAC，A'D'平分∠B'A'C'，
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠B'A'D'=$\frac{1}{2}$∠B'A'C'，
∴∠BAD=∠B'A'D'。
在△ABD和△A'B'D'中，
$\left\{\begin{array}{l}∠B=∠B'\\∠BAD=∠B'A'D'\end{array}\right.$，
∴△ABD∽△A'B'D'（AA）。
∴$\frac{AD}{A'D'}=\frac{AB}{A'B'}=k$。
即$\frac{AD}{A'D'}=k$。

3. 试证明相似三角形周长之比等于相似比。（要求：先画出图形，再根据图形写出已知、求证和证明过程）

答案： 已知：△ABC∽△A'B'C'，相似比为k。
求证：△ABC与△A'B'C'的周长之比为k。
证明：
∵△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，
∴AB/A'B' = BC/B'C' = AC/A'C' = k，
∴AB = kA'B'，BC = kB'C'，AC = kA'C'，
∵C△ABC = AB + BC + AC，C△A'B'C' = A'B' + B'C' + A'C'，
∴C△ABC/C△A'B'C' = (kA'B' + kB'C' + kA'C')/(A'B' + B'C' + A'C') = k(A'B' + B'C' + A'C')/(A'B' + B'C' + A'C') = k，
即相似三角形周长之比等于相似比。

4. 如图，在$\triangle ABC$和$\triangle DEC$中，$\angle A = \angle D$，$\angle BCE = \angle ACD$。
（1）求证：$\triangle ABC \backsim \triangle DEC$；
（2）若$S_{\triangle ABC}:S_{\triangle DEC} = 4:9$，$BC = 6$，求$EC$的长。

答案： 1. （1）证明：
因为$\angle BCE=\angle ACD$，所以$\angle BCE + \angle ACE=\angle ACD+\angle ACE$，即$\angle ACB=\angle DCE$。
又因为$\angle A = \angle D$，根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$\triangle ABC\backsim\triangle DEC$。
2. （2）
因为$\triangle ABC\backsim\triangle DEC$，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，设相似比为$k$，则$k^{2}=\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle DEC}}$。
已知$S_{\triangle ABC}:S_{\triangle DEC}=4:9$，所以$k^{2}=\frac{4}{9}$，则$k = \frac{2}{3}$（相似比$k\gt0$）。
又因为相似三角形对应边成比例，即$\frac{BC}{EC}=k$，已知$BC = 6$，$k=\frac{2}{3}$，所以$\frac{6}{EC}=\frac{2}{3}$。
交叉相乘得$2EC=18$，解得$EC = 9$。
综上，（1）已证$\triangle ABC\backsim\triangle DEC$；（2）$EC$的长为$9$。