《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册华师大版》

5. [2024秋·眉山期末]如图，AD、BC相交于点E，AB//CD//EF，点B、F、D在一条直线上，AB = 10，CD = 15。
(1)求$\frac{BF}{DF}$的值；
(2)求EF的长。

答案： 5.
(1)$\frac{BF}{DF}=\frac{2}{3}$
(2)EF=6

6. 如图，在△ABC中，DE//BC，EF//AB，AE = 2CE，AB = 6，BC = 9，求BD和DE的长。

答案： 6.BD=2,DE=6

7. (推理能力)如图，在□ABCD中，AE与BC的延长线交于点E，与BD、CD分别相交于点F、G。
(1)若AB = 3，BC = 4，CE = 2，求CG的长；
(2)求证：AF² = FG·FE。

答案： （1）解：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB// CD$。
由$AB// CD$，可得$\triangle EGC\sim\triangle EAB$。
根据相似三角形的性质，$\frac{CG}{AB}=\frac{CE}{BE}$。
已知$AB = 3$，$BC = 4$，$CE = 2$，则$BE=BC + CE=4 + 2=6$。
把$AB = 3$，$CE = 2$，$BE = 6$代入$\frac{CG}{AB}=\frac{CE}{BE}$中，得到$\frac{CG}{3}=\frac{2}{6}$。
解得$CG = 1$。
（2）证明：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB// CD$，$AD// BC$。
由$AB// CD$，可得$\triangle AFD\sim\triangle GFB$，则$\frac{AF}{FG}=\frac{DF}{BF}$。
由$AD// BC$，可得$\triangle AFD\sim\triangle EFB$，则$\frac{FE}{AF}=\frac{BF}{DF}$。
所以$\frac{AF}{FG}=\frac{FE}{AF}$，即$AF^{2}=FG\cdot FE$。
综上，（1）$CG$的长为$1$；（2）证明成立。