《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册华师大版》

例1 [2024·山西期中]如图所示，学校准备在教学楼后面搭建两个连在一起的简易矩形的自行车车棚，一边利用教学楼的后墙(可利用的墙长为28m)，另外的边利用总长为55m的铁栏围成，并开有两个宽为1m的门(门用其他材料)。
(1)若围成的面积为270m²，试求出自行车车棚的长和宽。
(2)能围成面积为300m²的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由。

答案：
(1)自行车车棚的长和宽分别为27m、10m.
(2)不能围成面积为300m²的自行车车棚.理由略.

例2 如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动。点P、Q分别从点A、B同时出发，当一点运动到终点时，另一点也随之停止运动。
(1)几秒后，PQ的长度等于2$\sqrt{10}$cm？
(2)△PQB的面积能否等于7cm²？请说明理由。

答案： （1）
设$t$秒后，$PQ = 2\sqrt{10}\mathrm{cm}$。
已知$AP=t\mathrm{cm}$，则$PB=(5 - t)\mathrm{cm}$，$BQ = 2t\mathrm{cm}$。
在$Rt\triangle PBQ$中，根据勾股定理$PQ^{2}=PB^{2}+BQ^{2}$。
因为$PQ = 2\sqrt{10}$，所以$(2\sqrt{10})^{2}=(5 - t)^{2}+(2t)^{2}$。
展开式子得：$40=(25 - 10t+t^{2})+4t^{2}$。
即$40 = 25-10t + 5t^{2}$。
移项化为一元二次方程的一般形式：$5t^{2}-10t - 15 = 0$，两边同时除以$5$得$t^{2}-2t - 3 = 0$。
分解因式得$(t - 3)(t + 1)=0$。
解得$t_{1}=3$，$t_{2}=-1$（时间不能为负，舍去）。
又因为点$P$从$A$到$B$运动时间$t_{P}=\frac{5}{1}=5\mathrm{s}$，点$Q$从$B$到$C$运动时间$t_{Q}=\frac{7}{2}=3.5\mathrm{s}$，$t = 3\lt3.5$。
所以$3$秒后，$PQ$的长度等于$2\sqrt{10}\mathrm{cm}$。
（2）
设$x$秒后$\triangle PQB$的面积为$S$，则$S=\frac{1}{2}PB\cdot BQ$。
因为$PB=(5 - x)\mathrm{cm}$，$BQ = 2x\mathrm{cm}$，所以$S=\frac{1}{2}(5 - x)×2x$。
若$S = 7$，则$\frac{1}{2}(5 - x)×2x=7$。
化简得$5x-x^{2}=7$。
即$x^{2}-5x + 7 = 0$。
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，这里$a = 1$，$b=-5$，$c = 7$。
判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4×1×7=25 - 28=-3\lt0$。
所以此方程无实数根，即$\triangle PQB$的面积不能等于$7\mathrm{cm}^{2}$。
综上，（1）$3$秒；（2）不能。

1. 若一个直角三角形的面积为24，两条直角边之和为14，则其斜边是（ ）

A.2$\sqrt{7}$
B.4$\sqrt{2}$
C.8
D.10

答案： 1. D