《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册华师大版》

14. （10 分）已知 $\triangle ABC$ 的一条边 $BC$ 的长为 $5$，另两边 $AB$、$AC$ 的长分别是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-(2k + 3)x + k^{2}+3k + 2 = 0$ 的两个实数根。
(1) 求证：无论 $k$ 为何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2) 当 $k = 2$ 时，请判断 $\triangle ABC$ 的形状并说明理由。

答案： $(1)$ 证明方程总有两个不相等的实数根
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$。
在方程$x^{2}-(2k + 3)x + k^{2}+3k + 2 = 0$中，$a = 1$，$b=-(2k + 3)$，$c = k^{2}+3k + 2$。
则$\Delta =[-(2k + 3)]^{2}-4×1×(k^{2}+3k + 2)$
$=4k^{2}+12k + 9-4k^{2}-12k - 8$
$=1$。
因为$\Delta=1\gt0$，所以无论$k$为何值，方程总有两个不相等的实数根。
$(2)$ 判断$\triangle ABC$的形状
当$k = 2$时，方程为$x^{2}-(2×2 + 3)x + 2^{2}+3×2 + 2 = 0$，即$x^{2}-7x + 12 = 0$。
分解因式得$(x - 3)(x - 4)=0$，
解得$x_{1}=3$，$x_{2}=4$。
此时$AB = 3$，$AC = 4$，$BC = 5$。
因为$3^{2}+4^{2}=9 + 16=25=5^{2}$，即$AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}$。
根据勾股定理的逆定理：若$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（$a$、$b$为三角形的两边，$c$为三角形的第三边），则该三角形是直角三角形。
所以$\triangle ABC$是直角三角形。
综上，答案依次为：$(1)$ 证明过程如上述；$(2)$ $\boldsymbol{\triangle ABC}$是直角三角形 。

15. （10 分）已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+kx - 4k - 16 = 0$。
(1) 试判断这个方程根的情况。
(2) 是否存在实数 $k$，使这个方程的两个根为连续偶数？若存在，求出 $k$ 的值及方程的根；若不存在，请说明理由。

答案： 15.
(1)原方程总有两个实数根.
(2)当k = -10时$, x_1 = 4, x_2 = 6; $
当k = -6时$, x_1 = 4, x_2 = 2.$

16. （10 分）[2024 春·眉山期中]已知关于 $x$ 的方程 $kx^{2}-(4k - 3)x + 3k - 3 = 0$。
(1) 求证：无论 $k$ 取何值，方程都有实根；
(2) 若 $x = - 1$ 是该方程的一个根，求 $k$ 的值；
(3) 若方程的两个实根均为正整数，求 $k$ 的值（$k$ 为整数）。

答案： $(1)$ 证明：无论$k$取何值，方程都有实根
- 当$k = 0$时，方程化为$3x - 3 = 0$，这是一个一元一次方程。
解这个方程：$3x=3$，得$x = 1$，此时方程有实数根。
- 当$k\neq0$时，方程$kx^{2}-(4k - 3)x + 3k - 3 = 0$是一元二次方程，其判别式$\Delta=(4k - 3)^{2}-4k(3k - 3)$。
根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$和单项式乘多项式法则展开：
$\Delta = 16k^{2}-24k + 9-12k^{2}+12k$
合并同类项：$\Delta = 4k^{2}-12k + 9=(2k - 3)^{2}$。
因为任何数的平方都大于等于$0$，即$(2k - 3)^{2}\geq0$，所以$\Delta\geq0$，此时方程有两个实数根。
综上，无论$k$取何值，方程都有实根。
$(2)$ 求$k$的值
因为$x = - 1$是方程$kx^{2}-(4k - 3)x + 3k - 3 = 0$的一个根，将$x=-1$代入方程得：
$k×(-1)^{2}-(4k - 3)×(-1)+3k - 3 = 0$。
根据幂的运算法则$(-a)^n$（$n$为偶数时，$(-a)^n=a^n$）和乘法分配律展开：
$k + 4k - 3+3k - 3 = 0$。
合并同类项：$(k + 4k+3k)-(3 + 3)=0$，即$8k-6 = 0$。
移项得$8k=6$，解得$k=\frac{3}{4}$。
 
(3)k的值为$\pm 3或-1$